Reconstrucción interior

En la reconstrucción iterativa en imágenes digitales , la reconstrucción interior (también conocida como reconstrucción de campo de visión limitado [LFV] ) es una técnica para corregir artefactos de truncamiento causados ​​por la limitación de los datos de la imagen a un campo de visión pequeño. La reconstrucción se centra en un área conocida como región de interés (ROI). Aunque la reconstrucción interior se puede aplicar a imágenes de TC dentales o cardíacas , el concepto no se limita a la TC. Se aplica con uno de varios métodos.

Métodos

El propósito de cada método es resolver el vector en el siguiente problema: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.}$

Región de interés (ROI) de una imagen que muestra un objeto

Sea la región de interés (ROI) y sea la región fuera de . Supongamos que , , , son matrices conocidas; y son vectores desconocidos de la imagen original, mientras que y son mediciones vectoriales de las respuestas ( se conoce y se desconoce). está dentro de la región , ( ) y , en la región , ( ), está fuera de la región . está dentro de una región en la medición correspondiente a . Esta región se denota como , ( ), mientras que está fuera de la región . Corresponde a y se denota como , ( ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$

Para fines de reconstrucción de imágenes de TC, . ${\displaystyle C=0}$

Para simplificar el concepto de reconstrucción interior, se aplican las matrices , , , a la reconstrucción de imágenes en lugar de operadores complejos . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$

El primer método de reconstrucción interior que se enumera a continuación es la extrapolación . Es un método de tomografía local que elimina los artefactos de truncamiento pero introduce otro tipo de artefacto: un efecto de cuenco. Una mejora se conoce como el método de extrapolación adaptativa, aunque el método de extrapolación iterativa a continuación también mejora los resultados de la reconstrucción. En algunos casos, se puede encontrar la reconstrucción exacta para la reconstrucción interior. El método inverso local a continuación modifica el método de tomografía local y puede mejorar el resultado de la reconstrucción de la tomografía local; el método de reconstrucción iterativa se puede aplicar a la reconstrucción interior. Entre los métodos anteriores, se aplica a menudo la extrapolación.

Método de extrapolación

1) Proyecciones de fantasmas de Sheep-Logan 2) Proyecciones truncadas (extrapolación cero) 3) Extrapolaciones constantes, 4) exponenciales y 5) cuadráticas 6) Extrapolación mixta de 4 y 5

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A}$, , , son matrices conocidas; y son vectores desconocidos; es un vector conocido, y es un vector desconocido. Necesitamos conocer el vector . y son la imagen original, mientras que y son mediciones de respuestas. El vector está dentro de la región de interés , ( ). El vector está fuera de la región . La región exterior se llama , ( ) y está dentro de una región en la medición correspondiente a . Esta región se denota , ( ). La región del vector (fuera de la región ) también corresponde a y se denota como , ( ). En la reconstrucción de imágenes de TC, tiene ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$

${\displaystyle C=0}$

Para simplificar el concepto de reconstrucción interior, se aplican las matrices , , , a la reconstrucción de imágenes en lugar de un operador complejo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$

La respuesta en la región exterior puede ser una suposición ; por ejemplo, supongamos que es ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{ex}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}f\\g_{ex}\end{bmatrix}}}$

a) Fantoma de cabeza de Shepp-Logan b) Recorte del fantoma c) Reconstrucción sin extrapolación d) Reconstrucción con extrapolación constante, (e) cuadrática y (f) mixta

Una solución de se escribe como , y se conoce como el método de extrapolación. El resultado depende de qué tan buena sea la función de extrapolación. Una opción frecuente es ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle g_{ex}}$

${\displaystyle g_{ex}|_{\partial G}=f|_{\partial F}}$

en el límite de las dos regiones. ^{[1] [2] [3] [4]} El método de extrapolación a menudo se combina con conocimiento a priori , ^{[5] [6]} y a continuación se muestra un método de extrapolación que reduce el tiempo de cálculo.

Método de extrapolación adaptativa

Supongamos que se obtiene una solución aproximada y a partir del método de extrapolación descrito anteriormente. La respuesta en la región exterior se puede calcular de la siguiente manera: ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle g_{1}}$

${\displaystyle g_{1}=Cx_{0}+Dy_{0}}$

La imagen reconstruida se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}f\\g_{1}+g_{1ex}\end{bmatrix}}}$

Se supone que

${\displaystyle f|_{\partial F}=(g_{1}+g_{1ex})|_{\partial G}}$

en el límite de la región interior; resuelve el problema y se conoce como el método de extrapolación adaptativa. es la función de extrapolación adaptativa. ^{[7] [8] [9] [10] [5]} ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle g_{1ex}}$

Método de extrapolación iterativa

Se supone que se obtiene una solución aproximada, y , a partir del método de extrapolación que se describe a continuación: ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle y_{0}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{1}\\g_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\y_{0}\end{bmatrix}}}$

o

${\displaystyle f_{1}=By_{0}}$

La reconstrucción se puede obtener como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}f-f_{1}\\g_{ex}\end{bmatrix}}}$

Aquí hay una función de extrapolación y se supone que ${\displaystyle g_{1ex}}$

${\displaystyle (f-f_{1})|_{\partial F}=g_{1ex}|_{\partial G}}$

${\displaystyle x_{1}}$es una solución a este problema. ^[11]

Tomografía local

La tomografía local, con un filtro muy corto, también se conoce como tomografía lambda. ^{[12] [13]}

Método inverso local

El método inverso local amplía el concepto de tomografía local. La respuesta en la región externa se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle f=Ax+By}$

Considere la inversa generalizada que satisface ${\displaystyle B^{+}}$

${\displaystyle BB^{+}B=B}$

Definir

${\displaystyle Q=[I-BB^{+}]}$

de modo que

${\displaystyle QB=0}$

Por eso,

${\displaystyle Qf=QAx}$

La ecuación anterior se puede resolver como

${\displaystyle x_{1}=A^{+}Q^{+}Qf}$,

Considerando que

${\displaystyle QQ=Q}$

${\displaystyle QQQ=Q}$

${\displaystyle Q}$es la inversa generalizada de , es decir ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q^{+}=Q}$

La solución se puede simplificar así:

${\displaystyle x_{1}=A^{+}Qf}$.

La matriz se conoce como la inversa local de la matriz , correspondiente a . Esto se conoce como el método de la inversa local. ^[11] ${\displaystyle A^{+}Q=A^{+}[I-BB^{+}]}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle A}$

Método de reconstrucción iterativa

Aquí se define una función objetivo y este método la alcanza iterativamente. Si la función objetivo puede ser algún tipo de normal, esto se conoce como método de norma mínima.

${\displaystyle \min(R\|x\|+S\|y\|+T\|g\|)}$,

sujeto a

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}}$

y es conocido, ${\displaystyle f}$

donde , y son constantes de ponderación de la minimización y es algún tipo de norma . Las normas que se utilizan a menudo son , , , la norma de variación total (TV) o una combinación de las normas anteriores. Un ejemplo de este método es el método de proyección sobre conjuntos convexos (POCS). ^{[14] [15]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle L_{+\infty }}$

Solución analítica

En situaciones especiales, la reconstrucción interior se puede obtener como una solución analítica; la solución de es exacta en tales casos. ^{[16] [17] [18]} ${\displaystyle x}$

Extrapolación rápida

Los datos extrapolados a menudo se convolucionan a una función kernel . Después de que los datos se extrapolan, su tamaño se incrementa N veces, donde N  = 2 ~ 3. Si los datos necesitan ser convolucionados a una función kernel conocida, los cálculos numéricos aumentarán log( N )· N veces, incluso con la transformada rápida de Fourier (FFT). Existe un algoritmo que calcula analíticamente la contribución de parte de los datos extrapolados. El tiempo de cálculo se puede omitir, en comparación con el cálculo de convolución original; con este algoritmo, el cálculo de una convolución utilizando los datos extrapolados no aumenta notablemente. Esto se conoce como extrapolación rápida. ^[19]

Comparación de métodos

El método de extrapolación es adecuado en una situación en la que

${\displaystyle |x|>|y|}$y ${\displaystyle |X|>|Y|}$

es decir, una pequeña situación de artefactos de truncamiento.

El método de extrapolación adaptativa es adecuado para una situación en la que

${\displaystyle |x|\sim |y|}$y ${\displaystyle |X|\sim |Y|}$

es decir, una situación normal de artefactos de truncamiento. Este método también ofrece una solución aproximada para la región exterior.

El método de extrapolación iterativa es adecuado para una situación en la que

${\displaystyle |x|\sim |y|}$y ${\displaystyle |X|\sim |Y|}$

es decir, una situación normal de artefactos de truncamiento. Aunque este método logra una mejor reconstrucción interior en comparación con la reconstrucción adaptativa, no logra el resultado en la región exterior.

La tomografía local es adecuada para una situación en la que

${\displaystyle |x|\ll |y|}$y ${\displaystyle |X|\ll |Y|}$

es decir, la situación de mayor artefacto de truncamiento. Aunque no hay artefactos de truncamiento en este método, hay un error fijo (independiente del valor de ) en la reconstrucción. ${\displaystyle |y|}$

El método inverso local, idéntico a la tomografía local, es adecuado en una situación en la que

${\displaystyle |x|\ll |y|}$y ${\displaystyle |X|\ll |Y|}$

es decir, la situación de mayor artefacto de truncamiento. Aunque no existen artefactos de truncamiento para este método, hay un error fijo (independiente del valor de ) en la reconstrucción que puede ser menor que con la tomografía local. ${\displaystyle |y|}$

El método de reconstrucción iterativa obtiene un buen resultado con cálculos grandes. Aunque el método analítico logra un resultado exacto, solo es funcional en algunas situaciones. El método de extrapolación rápida puede obtener los mismos resultados que los otros métodos de extrapolación y se puede aplicar a los métodos de reconstrucción interna anteriores para reducir el cálculo.

Véase también

• Pronóstico
• Extrapolación polinómica mínima
• Método multigrid
• Intervalo de predicción
• Análisis de regresión
• Extrapolación de Richardson
• Análisis estático
• Estimación de tendencias
• Interpolación
• Análisis del dominio de extrapolación
• Estimación de la muerte
• Reconstrucción de imágenes
• Inversa local
• Inversa generalizada
• Extrapolación

Notas

1. MM Seger, Implementación de Rampfilter en datos de proyección truncados. Aplicación a la tomografía lineal 3D para registros, Actas SSAB02, Simposio sobre análisis de imágenes, Lund, Suecia, 7-8 de marzo de 2002. Editor Astrom.
2. F .Rashid-Farrokhi, KJR Liu, CA Berenstein y D.Walnut, Tomografía local multirresolución basada en wavelets, IEEE Transactions on Image Processing 6 (1997), 1412–1430.
3. M. Nilsson, Local Tomography at a Glance, Tesis de Licenciatura en Ciencias Matemáticas 2003:3 ISSN  1404-028X, ISBN 91-628-5741-X , LUTFMA-2007-2003. Impreso en Suecia por KFS AB Lund, 2003. 
4. PS Cho, AD Rudd y RH Johnson, TC de haz cónico a partir de proyecciones truncadas en ancho, Computerized Medical Imaging and Graphics 20(1) (1996), 49–57, 49–57.
5. J. Hsieh, E. Chao, J. Thibault, B. Grekowicz, A. Horst, S. McOlash y TJ Myers, Un nuevo algoritmo de reconstrucción para ampliar el campo de visión de la tomografía computarizada, Medical Phys 31 (2004), 2385–2391.
6. KJ Ruchala, GH Olivera, JM Kapatoes, PJ Reckwerdt y TR Mack, Métodos para mejorar las reconstrucciones de radioterapia de campo de visión limitado utilizando imágenes a priori imperfectas, Med Phys 29 (2002), 2590–2605.
7. M. Nassi, WR Brody, BPMedoff y A.Macovski, Reproyección de reconstrucción iterativa: un algoritmo para tomografía computarizada cardíaca con datos limitados, IEEE trans Biomed Engineering 295 (1982), 333–340.
8. JH Kim, KY KWAK, SB Park y ZH Cho, Reconstrucción de iteración del espacio de proyección y reproyección, IEEE transaction on Medical Imaging 4 (1983), 139–143
9. PSCho, AD Rudd y RH Johnson, Conebeam CT a partir de proyecciones truncadas en ancho Computerized, Medical Imaging and Graphics 20 (1996), 49–57.
10. B. Ohnesorge, T. Flohr, K. Schwarz, JP Heiken y KT Bae, 2000 Corrección eficiente de artefactos en imágenes de TC causados ​​por objetos que se extienden fuera del campo de visión del escáner, Med Phys 27, 39–46.
11. Shuangren Zhao, Kang Yang, Dazong Jiang, Xintie Yang, Reconstrucción interior mediante inversa local , J Xray Sci Technol . 2011; 19(1): 69-90
12. A. Faridani, EL Ritman y KT Smith, Tomografía local, SIAM J APPL MATH 52 (1992), 459–484.
13. A. Katsevich, 1999 Tomografía local de haz cónico, SIAM J APPL MATH 59, 2224–2246.
14. Ye. Yangbo, Yu. 1 Hengyong 2 y GeWang, Reconstrucción interior exacta a partir de datos de proyección de ángulo limitado truncados, Revista internacional de imágenes biomédicas (2008), 1–6.
15. L. Zeng, B. Liu, L. Liu y C. Xiang, Un nuevo algoritmo de reconstrucción iterativa para tomografía computarizada de haz en abanico exterior 2D, Journal of XRay Science and Technology 18 (2010), 267–277.
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17. M. Defrise, F. Noo, R. Clackdoyle y H. Kudo, Transformada de Hilbert truncada y reconstrucción de imágenes a partir de datos tomográficos limitados. IOPscience.iop.org, 2006
18. F. Noo, R. Clackdoyle y JD Pack, Un método de transformada de Hilbert de dos pasos para la reconstrucción de imágenes 2D, Phys Med Biol 49 (2004), 3903–3923.
19. S Zhao, K Yang, X Yang, Reconstrucción a partir de proyecciones truncadas utilizando extrapolaciones mixtas de funciones exponenciales y cuadráticas, Journal of X-ray Science and Technology, 2011, 19(2) pp 155–72