integral de jacobi

Constante de Jacobi, superficie y curva de velocidad cero

En mecánica celeste , la integral de Jacobi (también conocida como integral de Jacobi o constante de Jacobi ) es la única cantidad conservada conocida para el problema circular restringido de los tres cuerpos . ^[1] A diferencia del problema de los dos cuerpos, la energía y el momento del sistema no se conservan por separado y no es posible una solución analítica general. La integral se ha utilizado para derivar numerosas soluciones en casos especiales.

Lleva el nombre del matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi .

Definición

sistema sinódico

Sistema co-rotativo

Uno de los sistemas de coordenadas adecuados utilizados es el llamado sistema sinódico o co-rotativo, colocado en el baricentro , con la línea que conecta las dos masas μ ₁ , μ ₂ elegida como eje x y la unidad de longitud igual a su distancia. A medida que el sistema gira conjuntamente con las dos masas, éstas permanecen estacionarias y posicionadas en (− μ ₂ , 0) y (+ μ ₁ , 0). ^[a]

En el sistema de coordenadas ( x ,  y ), la constante de Jacobi se expresa de la siguiente manera:

${\displaystyle C_{J}=n^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)-\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)}$

dónde:

• norte =2 π/tes el movimiento medio ( período orbital T )
• μ ₁ = Gm ₁ , μ ₂ = Gm ₂ , para las dos masas m ₁ , m ₂ y la constante gravitacional  G
• r ₁ , r ₂ son distancias de la partícula de prueba a las dos masas

Tenga en cuenta que la integral de Jacobi es menos el doble de la energía total por unidad de masa en el sistema de referencia giratorio: el primer término se relaciona con la energía potencial centrífuga , el segundo representa el potencial gravitacional y el tercero es la energía cinética . En este sistema de referencia, las fuerzas que actúan sobre la partícula son las dos atracciones gravitacionales, la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis. Dado que los tres primeros pueden derivarse de potenciales y el último es perpendicular a la trayectoria, todos son conservativos, por lo que la energía medida en este sistema de referencia (y por tanto, la integral de Jacobi) es una constante de movimiento. Para obtener una prueba computacional directa, consulte a continuación.

sistema sideral

Sistema inercial.

En el sistema de coordenadas sideral inercial ( ξ ,  η ,  ζ ), las masas orbitan alrededor del baricentro . En estas coordenadas la constante de Jacobi se expresa por ^[2]

${\displaystyle C_{J}=2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)+2n\left(\xi {\dot {\eta }}-\eta {\dot {\xi }}\right)-\left({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}+{\dot {\zeta }}^{2}\right).}$

Derivación

En el sistema co-rotativo, las aceleraciones se pueden expresar como derivadas de una única función escalar.

${\displaystyle U(x,y,z)={\frac {n^{2}}{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)+{\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}}$

Usando la representación lagrangiana de las ecuaciones de movimiento:

Multiplicando las ecuaciones. ( 1 ), ( 2 ) y ( 3 ) por ẋ , ẏ y ż respectivamente y sumando los tres resultados

${\displaystyle {\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}={\frac {\delta U}{\delta x}}{\dot {x}}+{\frac {\delta U}{\delta y}}{\dot {y}}+{\frac {\delta U}{\delta z}}{\dot {z}}={\frac {dU}{dt}}}$

Integrando rendimientos

${\displaystyle {\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=2U-C_{J}}$

donde C _J es la constante de integración.

El lado izquierdo representa el cuadrado de la velocidad v de la partícula de prueba en el sistema co-rotativo.

Ver también

• Marco de referencia giratorio
• El criterio de Tisserand
• Superficie de velocidad cero

Notas

1. Este sistema de coordenadas es no inercial , lo que explica la aparición de términos relacionados con las aceleraciones centrífuga y de Coriolis .

1. Biblioteca nacional de Francia. Jacobi, Carl GJ (1836). "Sobre el movimiento de un punto y sobre un caso particular del problema de los tres cuerpos". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias de París . 3 : 59–61.
2. Murray, Carl D .; Dermott, Stanley F. (1999). Dinámica del sistema solar (1ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 66–70. ISBN 9780521575973.

Bibliografía

• Carl D. Murray y Stanley F. Dermot Solar System Dynamics [Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, 1999], páginas 68–71. ( ISBN 0-521-57597-4 )