El criterio de Tisserand

El criterio de Tisserand se utiliza para determinar si un cuerpo en órbita observado, como un cometa o un asteroide , es igual a un cuerpo en órbita observado previamente. ^{[1] [2]}

Si bien todos los parámetros orbitales de un objeto que orbita alrededor del Sol durante el encuentro cercano con otro cuerpo masivo (por ejemplo, Júpiter) pueden cambiar dramáticamente, el valor de una función de estos parámetros, llamada relación de Tisserand (debido a Félix Tisserand ) se conserva aproximadamente. permitiendo reconocer la órbita después del encuentro.

Definición

El criterio de Tisserand se calcula en un sistema circular restringido de tres cuerpos. En un sistema circular restringido de tres cuerpos, se supone que una de las masas es mucho más pequeña que las otras dos. Se supone que las otras dos masas están en una órbita circular alrededor del centro de masa del sistema. Además, el criterio de Tisserand también se basa en el supuesto de que a) una de las dos masas más grandes es mucho más pequeña que la otra masa grande y b) el cometa o asteroide no se ha acercado mucho a ninguna otra masa grande.

Dos cuerpos en órbita observados posiblemente sean iguales si satisfacen o casi satisfacen el criterio de Tisserand: ^{[1] [2] [3]}

${\displaystyle {\frac {1}{2a_{1}}}+{\sqrt {a_{1}(1-e_{1}^{2})}}\cos i_{1}={\frac {1}{2a_{2}}}+{\sqrt {a_{2}(1-e_{2}^{2})}}\cos i_{2}}$

donde a es el semieje mayor (en unidades del semieje mayor de Júpiter), e es la excentricidad e i es la inclinación de la órbita del cuerpo.

En otras palabras, si una función de los elementos orbitales (llamado parámetro de Tisserand ) del primer cuerpo observado es (casi) igual a la misma función calculada con los elementos orbitales del segundo cuerpo observado, los dos cuerpos podrían ser iguales.

La relación de Tisserand

La relación define una función de los parámetros orbitales, conservados aproximadamente cuando el tercer cuerpo está lejos de la segunda masa (perturbadora). ^[3]

${\displaystyle {\frac {1}{2a}}+{\sqrt {a(1-e^{2})}}\cos i\approx {\rm {const}}}$

La relación se deriva de la constante de Jacobi , seleccionando un sistema de unidades adecuado y utilizando algunas aproximaciones. Tradicionalmente, las unidades se eligen para hacer que μ ₁ y la distancia (constante) de μ ₂ a μ ₁ sean una unidad, lo que da como resultado que el movimiento medio n también sea una unidad en este sistema.

Además, dada la gran masa de μ ₁ en comparación con μ ₂ y μ ₃

${\displaystyle G(\mu _{1}+\mu _{2})\approx 1\approx G(\mu _{1}+\mu _{3})}$

Estas condiciones se cumplen, por ejemplo, en el sistema Sol-Júpiter, en el que la tercera masa es un cometa o una nave espacial.

La constante de Jacobi, una función de las coordenadas ξ, η, ζ, (distancias r ₁ , r ₂ de las dos masas) y las velocidades sigue siendo la constante de movimiento a lo largo del encuentro.

${\displaystyle C_{J}=2\cdot ({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}})+2n(\xi {\dot {\eta }}-\eta {\dot {\xi }})-({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}+{\dot {\zeta }}^{2})}$

El objetivo es expresar la constante utilizando parámetros orbitales.

Se supone que, lejos de la masa μ ₂ , la partícula de prueba (cometa, nave espacial) se encuentra en una órbita alrededor de μ ₁ resultante de una solución de dos cuerpos. Primero, el último término de la constante es la velocidad, por lo que se puede expresar, suficientemente lejos de la masa perturbadora μ ₂ , como una función de la distancia y el semieje mayor únicamente usando la ecuación de vis-viva.

${\displaystyle ({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}+{\dot {\zeta }}^{2})=v^{2}=\mu \left({{2 \over {r}}-{1 \over {a}}}\right)}$

En segundo lugar, observar que la componente del momento angular (por unidad de masa) es ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {\dot {r}} }$

${\displaystyle \xi {\dot {\eta }}-\eta {\dot {\xi }}=h\cos I}$

donde es la inclinación mutua de las órbitas de μ ₃ y μ ₂ , y . ${\displaystyle I\,\!}$ ${\displaystyle h=|\mathbf {h} |={\sqrt {a(1-e^{2})}}}$

Sustituyendo estos en la constante de Jacobi C _J , ignorando el término con μ ₂ <<1 y reemplazando r _{1 con r (dado que} μ ₁ es muy grande, el baricentro del sistema μ ₁ , μ ₃ está muy cerca de la posición de μ ₁ ) da

${\displaystyle {\frac {1}{2a}}+{\sqrt {a(1-e^{2})}}\cos i\approx {\rm {const}}}$

Ver también

• Elementos orbitales
• Mecánica orbital
• problema n -cuerpo

Referencias

1. Roy, John AE (31 de diciembre de 2004). Movimiento orbital (4ª ed.). Prensa CRC. pag. 121.ISBN​ 9781420056884.
2. Gurzadyan, Grigor A. (21 de octubre de 1996). Teoría de los Vuelos Interplanetarios . Prensa CRC. pag. 192.ISBN​ 9782919875153.
3. Danby, John MA (1992). Fundamentos de la Mecánica Celeste (2ª ed.). Willman-Bell Inc. págs. 253–254. ISBN 9780943396200.