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Integración Lebesgue-Stieltjes

En el análisis de la teoría de la medida y en ramas relacionadas de las matemáticas , la integración de Lebesgue-Stieltjes generaliza tanto la integración de Riemann-Stieltjes como la de Lebesgue , conservando las numerosas ventajas de la primera en un marco de teoría de la medida más general. La integral de Lebesgue-Stieltjes es la integral de Lebesgue ordinaria con respecto a una medida conocida como medida de Lebesgue-Stieltjes, que puede asociarse a cualquier función de variación acotada en la línea real. La medida de Lebesgue-Stieltjes es una medida de Borel regular y, a la inversa, toda medida de Borel regular en la línea real es de este tipo.

Las integrales de Lebesgue-Stieltjes , llamadas así por Henri Leon Lebesgue y Thomas Joannes Stieltjes , también se conocen como integrales de Lebesgue-Radon o simplemente integrales de Radon , en honor a Johann Radon , a quien se debe gran parte de la teoría. Tienen una aplicación común en los procesos de probabilidad y estocásticos , y en ciertas ramas del análisis , incluida la teoría del potencial .

Definición

La integral de Lebesgue-Stieltjes

se define cuando     es Borel - medible y acotado y     es de variación acotada en [ a , b ] y continua por la derecha, o cuando f es no negativa y g es monótona y continua por la derecha . Para empezar, supongamos que f es no negativa y g es monótona no decreciente y continua por la derecha. Defina w (( s , t ]) = g ( t ) − g ( s ) y w ({ a }) = 0 (Alternativamente, la construcción funciona para g continua por la izquierda, w ([ s , t )) = g ( t ) − g ( s ) y w ({ b }) = 0 ).

Por el teorema de extensión de Carathéodory , existe una única medida de Borel μ g en [ a , b ] que concuerda con w en cada intervalo I . La medida μ g surge de una medida externa (de hecho, una medida externa métrica ) dada por

el ínfimo tomado sobre todos los recubrimientos de E por un número contable de intervalos semiabiertos. Esta medida a veces se denomina [1] la medida de Lebesgue–Stieltjes asociada con g .

La integral de Lebesgue-Stieltjes

se define como la integral de Lebesgue de f con respecto a la medida μ g de la forma habitual. Si g no es creciente, entonces defina

La última integral está definida por la construcción precedente.

Si g tiene una variación acotada, entonces es posible escribir

donde g 1 ( x ) = V x
un
g
es la variación total de g en el intervalo [ a , x ] y g 2 ( x ) = g 1 ( x ) − g ( x ) . Tanto g 1 como g 2 son monótonas no decrecientes.

Ahora bien, si f está acotada, la integral de Lebesgue-Stieltjes de f con respecto a g se define por

donde las dos últimas integrales están bien definidas por la construcción anterior.

Integral de Daniell

Un enfoque alternativo (Hewitt y Stromberg 1965) es definir la integral de Lebesgue-Stieltjes como la integral de Daniell que extiende la integral habitual de Riemann-Stieltjes. Sea g una función continua por la derecha no decreciente en [ a , b ] , y defina I (  f  ) como la integral de Riemann-Stieltjes

para todas las funciones continuas f . La función I define una medida de Radon en [ a , b ] . Esta función puede extenderse a la clase de todas las funciones no negativas estableciendo

Para las funciones medibles de Borel, se tiene

y cada lado de la identidad define entonces la integral de Lebesgue–Stieltjes de h . La medida exterior μ g se define mediante

donde χ A es la función indicadora de A .

Los integradores de variación acotada se manejan como se indicó anteriormente, descomponiéndolos en variaciones positivas y negativas.

Ejemplo

Supongamos que γ  : [ a , b ] → R 2 es una curva rectificable en el plano y ρ  : R 2 → [0, ∞) es medible según Borel. Entonces podemos definir la longitud de γ con respecto a la métrica euclidiana ponderada por ρ como

donde es la longitud de la restricción de γ a [ a , t ] . Esto a veces se llama la ρ -longitud de γ . Esta noción es bastante útil para varias aplicaciones: por ejemplo, en terreno fangoso la velocidad en la que una persona puede moverse puede depender de qué tan profundo sea el barro. Si ρ ( z ) denota la inversa de la velocidad de caminata en o cerca de z , entonces la ρ -longitud de γ es el tiempo que tomaría atravesar γ . El concepto de longitud extremal utiliza esta noción de la ρ -longitud de curvas y es útil en el estudio de aplicaciones conformes .

Integración por partes

Se dice que una función f es "regular" en un punto a si existen los límites derecho e izquierdo f  ( a +) y f  ( a −) , y la función toma en a el valor promedio

Dadas dos funciones U y V de variación finita, si en cada punto al menos una de U o V es continua o U y V son ambas regulares, entonces se cumple una fórmula de integración por partes para la integral de Lebesgue-Stieltjes: [2]

Aquí las medidas de Lebesgue-Stieltjes relevantes están asociadas con las versiones continuas por la derecha de las funciones U y V ; es decir, a y de manera similar El intervalo acotado ( a , b ) puede reemplazarse con un intervalo ilimitado (-∞, b ) , ( a , ∞) o (-∞, ∞) siempre que U y V sean de variación finita en este intervalo ilimitado. También se pueden usar funciones de valores complejos.

Un resultado alternativo, de importancia significativa en la teoría del cálculo estocástico es el siguiente: dadas dos funciones U y V de variación finita, que son ambas continuas por la derecha y tienen límites por la izquierda (son funciones càdlàg ), entonces

donde Δ U t = U ( t ) − U ( t −) . Este resultado puede considerarse un precursor del lema de Itô y es útil en la teoría general de la integración estocástica. El término final es Δ U ( tV ( t ) = d [ U , V ], que surge de la covariación cuadrática de U y V . (El resultado anterior puede considerarse entonces como un resultado perteneciente a la integral de Stratonovich ).

Conceptos relacionados

Integración de Lebesgue

Cuando g ( x ) = x para todo x real , entonces μ g es la medida de Lebesgue , y la integral de Lebesgue–Stieltjes de f con respecto a g es equivalente a la integral de Lebesgue de f .

Integración de Riemann-Stieltjes y teoría de la probabilidad

Donde f es una función continua de valor real de una variable real y v es una función real no decreciente, la integral de Lebesgue-Stieltjes es equivalente a la integral de Riemann-Stieltjes , en cuyo caso a menudo escribimos

para la integral de Lebesgue–Stieltjes, dejando implícita la medida μ v . Esto es particularmente común en la teoría de la probabilidad cuando v es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria de valor real X , en cuyo caso

(Consulte el artículo sobre la integración de Riemann-Stieltjes para obtener más detalles sobre cómo abordar estos casos).

Notas

  1. ^ Halmos (1974), Sección 15
  2. ^ Hewitt, Edwin (mayo de 1960). "Integración por partes para integrales de Stieltjes". The American Mathematical Monthly . 67 (5): 419–423. doi :10.2307/2309287. JSTOR  2309287.

Ver también

Henstock-Kurzweil-Stiltjes Integral

Referencias