Integral de Jacobi

Constante de Jacobi, superficie y curva de velocidad cero

En mecánica celeste , la integral de Jacobi (también conocida como integral de Jacobi o constante de Jacobi ) es la única cantidad conservada conocida para el problema circular restringido de tres cuerpos . ^[1] A diferencia del problema de dos cuerpos, la energía y el momento de cada uno de los cuerpos del sistema que lo componen no se conservan por separado, y no es posible una solución analítica general. Como la fuerza gravitacional es conservativa, la energía total (hamiltoniana), el momento lineal y el momento angular de un sistema aislado de tres cuerpos (el problema está restringido o no) se conservan.

Debe su nombre al matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi .

Definición

Sistema sinódico

Sistema co-rotativo

Uno de los sistemas de coordenadas adecuados que se utilizan es el denominado sistema sinódico o corrotante, situado en el baricentro , con la línea que une las dos masas μ ₁ , μ ₂ elegida como eje x y la unidad de longitud igual a su distancia. Como el sistema corrotante con las dos masas, estas permanecen estacionarias y posicionadas en (− μ ₂ , 0) y (+ μ ₁ , 0). ^[a]

En el sistema de coordenadas ( x ,  y ), la constante de Jacobi se expresa de la siguiente manera:

${\displaystyle C_{J}=n^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)-\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)}$

dónde:

• n = ⁠2π​/yo⁠ es el movimiento medio ( periodo orbital T )
• μ ₁ = Gm ₁ , μ ₂ = Gm ₂ , para las dos masas m ₁ , m ₂ y la constante gravitacional  G
• r ₁ , r ₂ son distancias de la partícula de prueba desde las dos masas

Nótese que la integral de Jacobi es menos el doble de la energía total por unidad de masa en el marco de referencia giratorio: el primer término se relaciona con la energía potencial centrífuga , el segundo representa el potencial gravitacional y el tercero es la energía cinética . En este sistema de referencia, las fuerzas que actúan sobre la partícula son las dos atracciones gravitacionales, la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis. Dado que las tres primeras pueden derivarse de potenciales y la última es perpendicular a la trayectoria, todas son conservativas, por lo que la energía medida en este sistema de referencia (y, por lo tanto, la integral de Jacobi) es una constante de movimiento. Para una prueba computacional directa, vea a continuación.

Sistema sideral

Sistema inercial.

En el sistema de coordenadas siderales inerciales ( ξ ,  η ,  ζ ), las masas orbitan alrededor del baricentro . En estas coordenadas, la constante de Jacobi se expresa mediante ^[2]

${\displaystyle C_{J}=2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)+2n\left(\xi {\dot {\eta }}-\eta {\dot {\xi }}\right)-\left({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}+{\dot {\zeta }}^{2}\right).}$

Derivación

En el sistema co-rotante, las aceleraciones se pueden expresar como derivadas de una única función escalar.

${\displaystyle U(x,y,z)={\frac {n^{2}}{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)+{\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}}$

Utilizando la representación lagrangiana de las ecuaciones de movimiento:

Al multiplicar las ecuaciones ( 1 ), ( 2 ) y ( 3 ) por ẋ , ẏ y ż respectivamente y sumar las tres, se obtiene

${\displaystyle {\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}={\frac {\delta U}{\delta x}}{\dot {x}}+{\frac {\delta U}{\delta y}}{\dot {y}}+{\frac {\delta U}{\delta z}}{\dot {z}}={\frac {dU}{dt}}}$

Integración de rendimientos

${\displaystyle {\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=2U-C_{J}}$

donde C _J es la constante de integración.

El lado izquierdo representa el cuadrado de la velocidad v de la partícula de prueba en el sistema corrotante.

Véase también

• Marco de referencia giratorio
• El criterio de Tisserand
• Superficie de velocidad cero

Notas

1. Este sistema de coordenadas no es inercial , lo que explica la aparición de términos relacionados con las aceleraciones centrífuga y de Coriolis .

1. Biblioteca nacional de Francia. Jacobi, Carl GJ (1836). "Sobre el movimiento de un punto y sobre un caso particular del problema de los tres cuerpos". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias de París . 3 : 59–61.
2. Murray, Carl D. ; Dermott, Stanley F. (1999). Dinámica del sistema solar (1.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 66–70. ISBN 9780521575973.

Bibliografía

• Carl D. Murray y Stanley F. Dermot Solar System Dynamics [Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, 1999], páginas 68-71. ( ISBN 0-521-57597-4 )