Producto tensorial topológico

Construcciones de productos tensoriales para espacios vectoriales topológicos

En matemáticas , normalmente hay muchas formas diferentes de construir un producto tensorial topológico de dos espacios vectoriales topológicos . Para los espacios de Hilbert o los espacios nucleares existe una teoría sencilla y bien comportada de productos tensoriales (véase Producto tensorial de espacios de Hilbert ), pero para los espacios de Banach generales o los espacios vectoriales topológicos localmente convexos la teoría es notoriamente sutil.

Motivación

Una de las motivaciones originales de los productos tensoriales topológicos es el hecho de que los productos tensoriales de los espacios de funciones reales suaves en no se comportan como se espera. Hay una inyección ${\displaystyle {\hat {\otimes }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\otimes C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\hookrightarrow C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m})}$

pero esto no es un isomorfismo . Por ejemplo, la función no se puede expresar como una combinación lineal finita de funciones suaves en ^[1]. Solo obtenemos un isomorfismo después de construir el producto tensorial topológico; es decir, ${\displaystyle f(x,y)=e^{xy}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} _{x})\otimes C^{\infty }(\mathbb {R} _{y}).}$

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\mathop {\hat {\otimes }} C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\cong C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m}).}$

En este artículo se detalla primero la construcción en el caso del espacio de Banach. El espacio no es un espacio de Banach y se analizan otros casos al final. ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

Productos tensoriales de espacios de Hilbert

El producto tensorial algebraico de dos espacios de Hilbert A y B tiene una forma sesquilínea positiva definida natural (producto escalar) inducida por las formas sesquilíneas de A y B . Por lo tanto, en particular, tiene una forma cuadrática positiva definida natural , y la completitud correspondiente es un espacio de Hilbert A ⊗ B , llamado producto tensorial (espacio de Hilbert) de A y B .

Si los vectores a _i y b _j pasan por bases ortonormales de A y B , entonces los vectores a _i ⊗ b _j forman una base ortonormal de A ⊗ B .

Normas cruzadas y productos tensoriales de espacios de Banach

En esta sección utilizaremos la notación de (Ryan 2002). La forma obvia de definir el producto tensorial de dos espacios de Banach es copiar el método para los espacios de Hilbert: definir una norma sobre el producto tensorial algebraico y luego tomar la completitud en esta norma. El problema es que hay más de una forma natural de definir una norma sobre el producto tensorial. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Si y son espacios de Banach, el producto tensorial algebraico de y significa el producto tensorial de y como espacios vectoriales y se denota por El producto tensorial algebraico consiste en todas las sumas finitas donde es un número natural que depende de y y para ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\otimes B.}$ ${\displaystyle A\otimes B}$ $${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i},}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{i}\in A}$ ${\displaystyle b_{i}\in B}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$

¿Cuándo y son espacios de Banach? ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$norma cruzada (onorma cruzada )sobre el producto tensorial algebraicoes una norma que satisface las condiciones ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A\otimes B}$ $${\displaystyle p(a\otimes b)=\|a\|\|b\|,}$$ $${\displaystyle p'(a'\otimes b')=\|a'\|\|b'\|.}$$

Aquí y son elementos de los espacios duales topológicos de y respectivamente, y es la norma dual de El término ${\displaystyle a^{\prime }}$ ${\displaystyle b^{\prime }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle p^{\prime }}$ ${\displaystyle p.}$La norma cruzada razonable también se utiliza para la definición anterior.

Existe una norma cruzada llamada norma cruzada proyectiva, dada por donde ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle \pi (x)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}\|a_{i}\|\|b_{i}\|:x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i}\right\},}$$ ${\displaystyle x\in A\otimes B.}$

Resulta que la norma cruzada proyectiva concuerda con la norma cruzada más grande ((Ryan 2002), pp. 15-16).

Existe una norma cruzada llamada norma cruzada inyectiva, dada por donde Aquí y denotan los duales topológicos de y respectivamente. ${\displaystyle \varepsilon }$ $${\displaystyle \varepsilon (x)=\sup \left\{\left|(a'\otimes b')(x)\right|:a'\in A',b'\in B',\|a'\|=\|b'\|=1\right\}}$$ ${\displaystyle x\in A\otimes B.}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$

Obsérvese aquí que la norma cruzada inyectiva es sólo en cierto sentido razonable la "más pequeña".

Las completaciones del producto tensorial algebraico en estas dos normas se denominan productos tensoriales proyectivos e inyectivos, y se denotan por y ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\pi }B}$ ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\varepsilon }B.}$

Cuando y son espacios de Hilbert, la norma utilizada para su producto tensorial del espacio de Hilbert no es igual a ninguna de estas normas en general. Algunos autores lo denotan por por lo que el producto tensorial del espacio de Hilbert en la sección anterior sería ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\sigma }B.}$

ALa norma cruzada uniforme es una asignación a cada parde espacios de Banach de una norma cruzada razonable ende modo que sison espacios de Banach arbitrarios entonces para todos los operadores (lineales continuos)yel operadores continuo ySiyson dos espacios de Banach yes una norma cruzada uniforme entoncesdefine una norma cruzada razonable en el producto tensorial algebraicoEl espacio lineal normado obtenido al equiparcon esa norma se denota porLa completitud delcual es un espacio de Banach, se denota porEl valor de la norma dado poreny en el producto tensorial completadopara un elementoen(o) se denota por ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle X,W,Y,Z}$ ${\displaystyle S:X\to W}$ ${\displaystyle T:Y\to Z}$ ${\displaystyle S\otimes T:X\otimes _{\alpha }Y\to W\otimes _{\alpha }Z}$ ${\displaystyle \|S\otimes T\|\leq \|S\|\|T\|.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A\otimes B.}$ ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B.}$ ${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B,}$ ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B.}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B}$ ${\displaystyle \alpha _{A,B}(x){\text{ or }}\alpha (x).}$

Se dice que una norma cruzada uniforme es ${\displaystyle \alpha }$finitamente generado si, para cada parde espacios de Banach y cada ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle u\in X\otimes Y,}$ $${\displaystyle \alpha (u;X\otimes Y)=\inf\{\alpha (u;M\otimes N):\dim M,\dim N<\infty \}.}$$

Una norma cruzada uniforme es ${\displaystyle \alpha }$cofinitamente generado si, para cada parde espacios de Banach y cada ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle u\in X\otimes Y,}$ $${\displaystyle \alpha (u)=\sup\{\alpha ((Q_{E}\otimes Q_{F})u;(X/E)\otimes (Y/F)):\dim X/E,\dim Y/F<\infty \}.}$$

ALa norma tensorial se define como una norma cruzada uniforme de generación finita. La norma cruzada proyectivay la norma cruzada inyectivadefinidas anteriormente son normas tensoriales y se denominan norma tensorial proyectiva y norma tensorial inyectiva, respectivamente. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Si y son espacios de Banach arbitrarios y es una norma cruzada uniforme arbitraria entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \varepsilon _{A,B}(x)\leq \alpha _{A,B}(x)\leq \pi _{A,B}(x).}$$

Productos tensoriales de espacios vectoriales topológicos localmente convexos

Las topologías de espacios vectoriales topológicos localmente convexos y están dadas por familias de seminormas . Para cada elección de seminorma en y en podemos definir la familia correspondiente de normas cruzadas en el producto tensorial algebraico y al elegir una norma cruzada de cada familia obtenemos algunas normas cruzadas en definiendo una topología. En general, hay una enorme cantidad de formas de hacer esto. Las dos formas más importantes son tomar todas las normas cruzadas proyectivas o todas las normas cruzadas inyectivas. Las terminaciones de las topologías resultantes en se denominan productos tensoriales proyectivos e inyectivos, y se denotan por y Existe una función natural de a ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\otimes B,}$ ${\displaystyle A\otimes B,}$ ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B.}$ ${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B.}$

Si o es un espacio nuclear , entonces la función natural de a es un isomorfismo. En términos generales, esto significa que si o es nuclear, entonces solo hay un producto tensorial sensible de y . Esta propiedad caracteriza a los espacios nucleares. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Véase también

• Espacio de Fréchet  : un espacio vectorial topológico localmente convexo que también es un espacio métrico completo
• Núcleo de Fredholm  : tipo de núcleo en un espacio de BanachPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Producto tensorial inductivo  : operación binaria en espacios vectoriales topológicosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Producto tensorial inyectivo
• Producto tensorial proyectivo  : producto tensorial definido en dos espacios vectoriales topológicosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Topología proyectiva  : topología más burda que hace que ciertas funciones sean continuasPages displaying short descriptions of redirect targets
• Producto tensorial de espacios de Hilbert  – Espacio de producto tensorial dotado de un producto interno especial

Referencias

1. "¿Cuál es un ejemplo de una función suave en C∞(R2) que no está contenida en C∞(R)⊗C∞(R)".

• Ryan, RA (2002), Introducción a los productos tensoriales de los espacios de Banach , Nueva York: Springer.
• Grothendieck, A. (1955), "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires", Memorias de la American Mathematical Society , 16.