La formulación del valor inicial de la relatividad general es una reformulación de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein que describe un universo que evoluciona a lo largo del tiempo .
Cada solución de las ecuaciones de campo de Einstein abarca la historia completa de un universo: no es solo una instantánea de cómo son las cosas, sino un espacio-tiempo completo : una declaración que abarca el estado de la materia y la geometría en todas partes y en cada momento en ese universo particular. Por esta razón, la teoría de Einstein parece ser diferente de la mayoría de las otras teorías físicas, que especifican ecuaciones de evolución para sistemas físicos; si el sistema está en un estado dado en un momento dado, las leyes de la física permiten extrapolar su pasado o futuro. Para las ecuaciones de Einstein, parece haber diferencias sutiles en comparación con otros campos: son autointeractuantes (es decir, no lineales incluso en ausencia de otros campos); son invariantes al difeomorfismo , por lo que para obtener una solución única, se necesita introducir una métrica de fondo fija y condiciones de calibración; finalmente, la métrica determina la estructura del espacio-tiempo y, por lo tanto, el dominio de dependencia para cualquier conjunto de datos iniciales, por lo que la región en la que se definirá una solución específica no está, a priori, definida. [1]
Sin embargo, hay una manera de reformular las ecuaciones de Einstein que supera estos problemas. En primer lugar, hay formas de reescribir el espacio-tiempo como la evolución del "espacio" en el tiempo; una versión anterior de esto se debe a Paul Dirac , mientras que una forma más simple se conoce en honor a sus inventores Richard Arnowitt , Stanley Deser y Charles Misner como formalismo ADM . En estas formulaciones, también conocidas como enfoques "3+1", el espacio-tiempo se divide en una hipersuperficie tridimensional con métrica interior y una incrustación en el espacio-tiempo con curvatura exterior; estas dos cantidades son las variables dinámicas en una formulación hamiltoniana que rastrea la evolución de la hipersuperficie a lo largo del tiempo. [2] Con tal división, es posible enunciar la formulación del valor inicial de la relatividad general . Implica datos iniciales que no se pueden especificar arbitrariamente sino que deben satisfacer ecuaciones de restricción específicas , y que se definen en alguna variedad tridimensional adecuadamente suave ; Al igual que para otras ecuaciones diferenciales, es posible demostrar teoremas de existencia y unicidad , es decir, que existe un espacio-tiempo único que es una solución de las ecuaciones de Einstein, que es globalmente hiperbólico , para el cual es una superficie de Cauchy (es decir, todos los eventos pasados influyen en lo que sucede en , y todos los eventos futuros son influenciados por lo que sucede en él), y tiene la métrica interna y la curvatura extrínseca especificadas; todos los espacio-tiempos que satisfacen estas condiciones están relacionados por isometrías . [3]
La formulación del valor inicial con su división 3+1 es la base de la relatividad numérica ; intentos de simular la evolución de los espacio-tiempos relativistas (en particular la fusión de agujeros negros o el colapso gravitacional ) utilizando computadoras. [4] Sin embargo, existen diferencias significativas con la simulación de otras ecuaciones de evolución física que hacen que la relatividad numérica sea especialmente desafiante, en particular el hecho de que los objetos dinámicos que están evolucionando incluyen el espacio y el tiempo mismo (por lo que no hay un fondo fijo contra el cual evaluar, por ejemplo, perturbaciones que representan ondas gravitacionales) y la ocurrencia de singularidades (que, cuando se permite que ocurran dentro de la porción simulada del espacio-tiempo, conducen a números arbitrariamente grandes que tendrían que representarse en el modelo de computadora). [5]
