inferencia fiduciaria

Uno de varios tipos diferentes de inferencia estadística.

La inferencia fiducial es uno de varios tipos diferentes de inferencia estadística . Se trata de reglas, destinadas a una aplicación general, mediante las cuales se pueden extraer conclusiones a partir de muestras de datos. En la práctica estadística moderna, los intentos de trabajar con inferencia fiduciaria han pasado de moda en favor de la inferencia frecuentista , la inferencia bayesiana y la teoría de la decisión . Sin embargo, la inferencia fiducial es importante en la historia de la estadística ya que su desarrollo condujo al desarrollo paralelo de conceptos y herramientas en estadística teórica que se utilizan ampliamente. Algunas investigaciones actuales en metodología estadística están explícitamente vinculadas a la inferencia fiduciaria o están estrechamente relacionadas con ella.

Fondo

El enfoque general de la inferencia fiducial fue propuesto por Ronald Fisher . ^{[1] [2]} Aquí "fiducial" proviene del latín y significa fe. La inferencia fiducial puede interpretarse como un intento de realizar probabilidad inversa sin recurrir a distribuciones de probabilidad previas . ^[3] La inferencia fiduciaria rápidamente generó controversia y nunca fue ampliamente aceptada. ^[4] De hecho, pronto se publicaron contraejemplos de las afirmaciones de Fisher sobre la inferencia fiduciaria. ^{[ cita necesaria ]} Estos contraejemplos arrojan dudas sobre la coherencia de la "inferencia fiducial" como un sistema de inferencia estadística o lógica inductiva . Otros estudios demostraron que, cuando se dice que los pasos de la inferencia fiducial conducen a "probabilidades fiduciales" (o "distribuciones fiduciales"), estas probabilidades carecen de la propiedad de aditividad y, por lo tanto, no pueden constituir una medida de probabilidad . ^{[ cita necesaria ]}

El concepto de inferencia fiducial se puede esbozar comparando su tratamiento del problema de la estimación de intervalos en relación con otros modos de inferencia estadística.

• Un intervalo de confianza , en inferencia frecuentista , con probabilidad de cobertura γ tiene la interpretación de que entre todos los intervalos de confianza calculados por el mismo método, una proporción γ contendrá el valor verdadero que debe estimarse. Esto tiene una interpretación de muestreo repetido (o frecuentista ), o es la probabilidad de que un intervalo calculado a partir de datos aún por muestrear cubra el valor real. Sin embargo, en cualquier caso, la probabilidad en cuestión no es la probabilidad de que el valor verdadero esté en el intervalo particular que se ha calculado, ya que en esa etapa tanto el valor verdadero como el intervalo calculado son fijos y no son aleatorios.
• Los intervalos creíbles , en la inferencia bayesiana , sí permiten dar una probabilidad para el evento de que un intervalo, una vez calculado, incluya el valor verdadero, ya que procede sobre la base de que una distribución de probabilidad puede asociarse con el estado de conocimiento sobre el valor real, tanto antes como después de que se haya obtenido la muestra de datos.

Fisher diseñó el método fiducial para resolver los problemas percibidos con el enfoque bayesiano, en un momento en que el enfoque frecuentista aún no se había desarrollado por completo. Estos problemas estaban relacionados con la necesidad de asignar una distribución previa a los valores desconocidos. El objetivo era tener un procedimiento, como el método bayesiano, a cuyos resultados aún se les pudiera dar una interpretación de probabilidad inversa basada en los datos reales observados. El método procede intentando derivar una "distribución fiduciaria", que es una medida del grado de confianza que se puede poner en cualquier valor dado del parámetro desconocido y es fiel a los datos en el sentido de que el método utiliza toda la información disponible. .

Lamentablemente Fisher no dio una definición general del método fiduciario y negó que el método pudiera aplicarse siempre. ^{[ cita necesaria ]} Sus únicos ejemplos fueron para un solo parámetro; Se han dado diferentes generalizaciones cuando existen varios parámetros. Quenouille (1958) ofrece una presentación relativamente completa del enfoque fiducial de la inferencia, mientras que Williams (1959) describe la aplicación del análisis fiducial al problema de calibración (también conocido como "regresión inversa") en el análisis de regresión . ^[5] Kendall y Stuart (1973) ofrecen más información sobre la inferencia fiduciaria. ^[6]

La distribución fiduciaria

Fisher requirió la existencia de una estadística suficiente para que se aplicara el método fiduciario. Supongamos que hay una única estadística suficiente para un único parámetro. Es decir, supongamos que la distribución condicional de los datos dada la estadística no depende del valor del parámetro. Por ejemplo, supongamos que n observaciones independientes están distribuidas uniformemente en el intervalo . El máximo, X , de las n observaciones es un estadístico suficiente para  ω . Si solo se registra X y se olvidan los valores de las observaciones restantes, es igualmente probable que estas observaciones restantes hayan tenido algún valor en el intervalo . Esta afirmación no depende del valor de  ω . Entonces X contiene toda la información disponible sobre ω y las otras observaciones no podrían haber dado más información. ${\displaystyle [0,\omega ]}$ ${\displaystyle [0,X]}$

La función de distribución acumulativa de X es

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=P\left({\text{all observations}}\leq x\right)=\left({\frac {x}{\omega }}\right)^{n}.}$

Se pueden hacer declaraciones de probabilidad sobre X / ω . Por ejemplo, dado α , se puede elegir  un valor de a con 0 < a  < 1 tal que

${\displaystyle P\left(X>\omega a\right)=1-a^{n}=\alpha .}$

De este modo

${\displaystyle a=(1-\alpha )^{1/n}.}$

Entonces Fisher podría decir que esta afirmación se puede invertir a la forma

${\displaystyle P\left(\omega <{\frac {X}{a}}\right)=\alpha .}$

En esta última afirmación, ω ahora se considera variable y X es fijo, mientras que antes era al revés. Esta distribución de ω es la distribución fiducial que puede usarse para formar intervalos fiduciales que representan grados de creencia.

El cálculo es idéntico al método fundamental para encontrar un intervalo de confianza, pero la interpretación es diferente. De hecho, los libros más antiguos utilizan los términos intervalo de confianza e intervalo fiduciario indistintamente. ^{[ cita necesaria ]} Observe que la distribución fiduciaria se define de forma única cuando existe una única estadística suficiente.

El método fundamental se basa en una variable aleatoria que es función tanto de las observaciones como de los parámetros pero cuya distribución no depende del parámetro. Estas variables aleatorias se denominan cantidades fundamentales . Al usarlos, se pueden hacer declaraciones de probabilidad sobre las observaciones y parámetros en las que las probabilidades no dependen de los parámetros y éstas se pueden invertir resolviendo los parámetros de manera muy similar al ejemplo anterior. Sin embargo, esto sólo es equivalente al método fiduciario si la cantidad fundamental se define de forma única en función de una estadística suficiente.

Se podría tomar un intervalo fiduciario como simplemente un nombre diferente para un intervalo de confianza y darle la interpretación fiduciaria. Pero entonces la definición podría no ser única. ^{[ cita necesaria ]} Fisher habría negado que esta interpretación sea correcta: para él, la distribución fiduciaria tenía que definirse de forma única y tenía que utilizar toda la información de la muestra. ^{[ cita necesaria ]}

Estado del enfoque

Fisher admitió que la "inferencia fiduciaria" tenía problemas. Fisher le escribió a George A. Barnard que "no tenía la cabeza clara" acerca de un problema de inferencia fiduciaria, ^[7] y, escribiendo también a Barnard, Fisher se quejó de que su teoría parecía tener sólo "un enfoque asintótico de la inteligibilidad". . ^[7] Más tarde, Fisher confesó que "todavía no entiendo qué significa la probabilidad fiduciaria. Tendremos que vivir con ella durante mucho tiempo antes de saber lo que está haciendo por nosotros. Pero no debemos ignorarla sólo porque no la conocemos". todavía tenemos una interpretación clara". ^[7]

Dennis Lindley ^[8] demostró que la probabilidad fiduciaria carecía de aditividad y, por tanto, no era una medida de probabilidad . Cox señala ^[9] que el mismo argumento se aplica a la llamada " distribución de confianza " asociada con los intervalos de confianza , por lo que la conclusión que se puede sacar de esto es discutible. Fisher esbozó "pruebas" de resultados utilizando probabilidad fiduciaria. Cuando las conclusiones de los argumentos fiduciales de Fisher no son falsas, se ha demostrado que muchas también se derivan de la inferencia bayesiana. ^{[ cita necesaria ] [6]}

En 1978, JG Pederson escribió que "el argumento fiduciario ha tenido un éxito muy limitado y ahora está esencialmente muerto". ^[10] Davison escribió: "Se han hecho algunos intentos posteriores para resucitar el fiducialismo, pero ahora parece en gran medida de importancia histórica, particularmente en vista de su rango restringido de aplicabilidad cuando se lo compara con modelos de interés actual". ^[11]

La inferencia fiduciaria todavía se está estudiando y sus principios pueden ser valiosos para algunas aplicaciones científicas. ^{[12] [13]}

Referencias

1. Pescador, RA (1935). "El argumento fiduciario en la inferencia estadística". Anales de la eugenesia . 5 (4): 391–398. doi :10.1111/j.1469-1809.1935.tb02120.x. hdl : 2440/15222 .
2. "Argumento fiducial de RA Fisher y teorema de Bayes de Teddy Seidenfeld" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 21 de abril de 2012 . Consultado el 25 de agosto de 2015 .
3. Quenouille (1958), Capítulo 6
4. Neyman, Jerzy. "Nota sobre un artículo de Sir Ronald Fisher". Revista de la Real Sociedad de Estadística. Serie B (Metodológica) (1956): 288–294.
5. Williams (1959, capítulo 6)
6. Kendall, MG, Stuart, A. (1973) La teoría avanzada de la estadística, volumen 2: inferencia y relación, tercera edición , Griffin. ISBN 0-85264-215-6 (Capítulo 21) 
7. Zabell, SL (agosto de 1992). "RA Fisher y el argumento fiduciario". Ciencia estadística . 7 (3): 369–387. doi : 10.1214/ss/1177011233 . JSTOR  2246073.(página 381)
8. Sharon Bertsch McGrayne (2011) La teoría que no moriría. pag. 133 ^{[ cita completa necesaria ]}
9. Cox (2006) pág. 66
10. Pederson, JG (1978). "Inferencia fiduciaria". Revista estadística internacional . 46 (2): 147-170. doi :10.2307/1402811. JSTOR  1402811. SEÑOR  0514060.
11. Davison, AC (2001) " Biometrika Centenary: Teoría y metodología general" Biometrika 2001 (página 12 en la reedición editada por DM Titterton y David R. Cox )
12. Hannig, J (2009). "Inferencia fiducial generalizada para la regresión wavelet". Biometrika . 96 (4): 847–860. doi :10.1093/biomet/asp050. S2CID  96445115.
13. Hannig, J (2009). "Sobre la inferencia fiducial generalizada". Estadística Sínica . 19 : 491–544.

Bibliografía

• Cox, DR (2006). Principios de Inferencia Estadística , CUP. ISBN 0-521-68567-2 . 
• Pescador, RA (1956). Métodos estadísticos e inferencia científica . Nueva York: Hafner. ISBN 978-0-02-844740-7.
• Fisher, Ronald "Métodos estadísticos e inducción científica" Revista de la Royal Statistical Society, Serie B 17 (1955), 69–78. (crítica a las teorías estadísticas de Jerzy Neyman y Abraham Wald desde una perspectiva fiduciaria)
• Neyman, Jerzy (1956). "Nota sobre un artículo de Sir Ronald Fisher". Revista de la Royal Statistical Society, Serie B. 18 (2): 288–294. JSTOR  2983716.(respuesta a Fisher 1955, que diagnostica una falacia de "inferencia fiducial")
• Tukey, JW, ed. (1950). Contribuciones de RA Fisher a la estadística matemática . Nueva York: Wiley.
• Quenouille, MH (1958) Fundamentos del razonamiento estadístico . Grifo, Londres
• Williams, EJ (1959) Análisis de regresión , Wiley LCCN  59-11815
• Young, GA, Smith, RL (2005) Fundamentos de la inferencia estadística , CUP. ISBN 0-521-83971-8 
• Fraser, DAS (1961). "El método fiduciario y la invariancia". Biometrika . 48 (3/4): 261–80. doi :10.2307/2332749. JSTOR  2332749.
• Fraser, DAS (1961). "Sobre la inferencia fiduciaria". Anales de estadística matemática . 32 (3): 661–676. doi : 10.1214/aoms/1177704962 .