inestabilidad elástica

Inestabilidad elástica de una viga rígida sostenida por un resorte angular.

La inestabilidad elástica es una forma de inestabilidad que ocurre en sistemas elásticos, como el pandeo de vigas y placas sujetas a grandes cargas de compresión.

Hay muchas formas de estudiar este tipo de inestabilidad. Una de ellas es utilizar el método de deformaciones incrementales basado en la superposición de una pequeña perturbación sobre una solución de equilibrio.

Sistemas de un solo grado de libertad

Considere como ejemplo simple una viga rígida de longitud L , articulada en un extremo y libre en el otro, y que tiene un resorte angular unido al extremo articulado. La viga está cargada en el extremo libre por una fuerza F que actúa en la dirección axial de compresión de la viga; consulte la figura de la derecha.

Condición de equilibrio del momento

Suponiendo una desviación angular en el sentido de las agujas del reloj , el momento ejercido por la fuerza en el sentido de las agujas del reloj se convierte en . La ecuación de equilibrio de momentos viene dada por ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle M_{F}=FL\sin \theta }$

${\displaystyle FL\sin \theta =k_{\theta }\theta }$

¿Dónde está la constante elástica del resorte angular (Nm/radianes)? Suponiendo que es lo suficientemente pequeño, implementando la expansión de Taylor de la función seno y manteniendo los dos primeros términos se obtiene ${\displaystyle k_{\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle FL{\Bigg (}\theta -{\frac {1}{6}}\theta ^{3}{\Bigg )}\approx k_{\theta }\theta }$

que tiene tres soluciones, la trivial y ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle \theta \approx \pm {\sqrt {6{\Bigg (}1-{\frac {k_{\theta }}{FL}}{\Bigg )}}}}$

que es imaginario (es decir, no físico) y real en otros casos. Esto implica que para fuerzas de compresión pequeñas, el único estado de equilibrio está dado por , mientras que si la fuerza excede el valor, de repente hay otro modo de deformación posible. ${\displaystyle FL<k_{\theta }}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle k_{\theta }/L}$

Método energético

Se puede obtener el mismo resultado considerando las relaciones energéticas . La energía almacenada en el resorte angular es

${\displaystyle E_{\mathrm {spring} }=\int k_{\theta }\theta \mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2}}k_{\theta }\theta ^{2}}$

y el trabajo realizado por la fuerza es simplemente la fuerza multiplicada por el desplazamiento vertical del extremo de la viga, que es . De este modo, ${\displaystyle L(1-\cos \theta )}$

${\displaystyle E_{\mathrm {force} }=\int {F\mathrm {d} x=FL(1-\cos \theta )}}$

La condición de equilibrio energético ahora es igual que antes (aparte de lo trivial ). ${\displaystyle E_{\mathrm {spring} }=E_{\mathrm {force} }}$ ${\displaystyle F=k_{\theta }/L}$ ${\displaystyle \theta =0}$

Estabilidad de las soluciones.

Cualquier solución es estable si y sólo si un pequeño cambio en el ángulo de deformación da como resultado un momento de reacción que intenta restaurar el ángulo de deformación original. El momento neto en el sentido de las agujas del reloj que actúa sobre la viga es ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Delta \theta }$

${\displaystyle M(\theta )=FL\sin \theta -k_{\theta }\theta }$

Un cambio infinitesimal en el sentido de las agujas del reloj del ángulo de deformación da como resultado un momento ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle M(\theta +\Delta \theta )=M+\Delta M=FL(\sin \theta +\Delta \theta \cos \theta )-k_{\theta }(\theta +\Delta \theta )}$

que se puede reescribir como

${\displaystyle \Delta M=\Delta \theta (FL\cos \theta -k_{\theta })}$

ya que debido a la condición de equilibrio de momentos. Ahora bien, una solución es estable si un cambio en el sentido de las agujas del reloj da como resultado un cambio de momento negativo y viceversa. Por lo tanto, la condición para la estabilidad se convierte en ${\displaystyle FL\sin \theta =k_{\theta }\theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Delta \theta >0}$ ${\displaystyle \Delta M<0}$

${\displaystyle {\frac {\Delta M}{\Delta \theta }}={\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} \theta }}=FL\cos \theta -k_{\theta }<0}$

La solución es estable sólo para , lo que se esperaba. Desarrollando el término coseno en la ecuación, se obtiene la condición de estabilidad aproximada: ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle FL<k_{\theta }}$

${\displaystyle |\theta |>{\sqrt {2{\Bigg (}1-{\frac {k_{\theta }}{FL}}{\Bigg )}}}}$

para , que satisfacen las otras dos soluciones. Por tanto, estas soluciones son estables. ${\displaystyle FL>k_{\theta }}$

Múltiples grados de libertad: sistemas.

Inestabilidad elástica, 2 grados de libertad.

Al unir otra viga rígida al sistema original mediante un resorte angular, se obtiene un sistema de dos grados de libertad. Supongamos por simplicidad que las longitudes de las vigas y los resortes angulares son iguales. Las condiciones de equilibrio se vuelven

${\displaystyle FL(\sin \theta _{1}+\sin \theta _{2})=k_{\theta }\theta _{1}}$

${\displaystyle FL\sin \theta _{2}=k_{\theta }(\theta _{2}-\theta _{1})}$

donde y son los ángulos de las dos vigas. Linealizar asumiendo que estos ángulos son pequeños rendimientos ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}FL-k_{\theta }&FL\\k_{\theta }&FL-k_{\theta }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\theta _{1}\\\theta _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$

Las soluciones no triviales del sistema se obtienen encontrando las raíces del determinante de la matriz del sistema , es decir, para

${\displaystyle {\frac {FL}{k_{\theta }}}={\frac {3}{2}}\mp {\frac {\sqrt {5}}{2}}\approx \left\{{\begin{matrix}0.382\\2.618\end{matrix}}\right.}$

Por lo tanto, para el sistema de dos grados de libertad hay dos valores críticos para la fuerza aplicada F. Estos corresponden a dos modos diferentes de deformación que pueden calcularse a partir del espacio nulo de la matriz del sistema. Dividiendo las ecuaciones por rendimientos ${\displaystyle \theta _{1}}$

${\displaystyle {\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}{\Big |}_{\theta _{1}\neq 0}={\frac {k_{\theta }}{FL}}-1\approx \left\{{\begin{matrix}1.618&{\text{for }}FL/k_{\theta }\approx 0.382\\-0.618&{\text{for }}FL/k_{\theta }\approx 2.618\end{matrix}}\right.}$

Para la fuerza crítica más baja, la relación es positiva y los dos haces se desvían en la misma dirección, mientras que para la fuerza más alta tienen forma de "plátano". Estos dos estados de deformación representan las formas del modo de pandeo del sistema.

Ver también

• Pandeo
• Cavitación (elastómeros)
• Estabilidad Drucker

Otras lecturas

• Teoría de la estabilidad elástica , S. Timoshenko y J. Gere