Precio de la indiferencia

En finanzas , la fijación de precios por indiferencia es un método para fijar el precio de los valores financieros en relación con una función de utilidad . El precio de indiferencia también se conoce como precio de reserva o valoración privada . En particular, el precio de indiferencia es el precio al que un agente tendría el mismo nivel de utilidad esperada al realizar una transacción financiera que al no hacerlo (con una negociación óptima en caso contrario). Normalmente, el precio de indiferencia es un rango de precios (un diferencial entre oferta y demanda ) para un agente específico; este rango de precios es un ejemplo de límites de buena oferta . ^[1]

Matemáticas

Dada una función de utilidad y un reclamo con pagos conocidos en un momento terminal, definamos la función como ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C_{T}}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle V:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle V(x,k)=\sup _{X_{T}\in {\mathcal {A}}(x)}\mathbb {E} \left[u\left(X_{T}+kC_{T}\right)\right]}$,

donde es la dotación inicial, es el conjunto de todas las carteras autofinanciadas en el momento a partir de la dotación , y es el número de derechos que se comprarán (o venderán). Entonces, el precio de oferta de indiferencia para las unidades de es la solución de y el precio de demanda de indiferencia es la solución de . El límite del precio de indiferencia es el rango . ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(x)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v^{b}(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C_{T}}$ ${\displaystyle V(x-v^{b}(k),k)=V(x,0)}$ ${\displaystyle v^{a}(k)}$ ${\displaystyle V(x+v^{a}(k),-k)=V(x,0)}$ ${\displaystyle \left[v^{b}(k),v^{a}(k)\right]}$

Ejemplo

Considere un mercado con un activo libre de riesgo con y , y un activo riesgoso con y cada uno con probabilidad . Sea su función de utilidad dada por . Para encontrar el precio de indiferencia de oferta o demanda para una única opción de compra europea con precio de ejercicio 110, primero calcule . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{0}=100}$ ${\displaystyle B_{T}=110}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{0}=100}$ ${\displaystyle S_{T}\in \{90,110,130\}}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle u(x)=1-\exp(-x/10)}$ ${\displaystyle V(x,0)}$

${\displaystyle V(x,0)=\max _{\alpha B_{0}+\beta S_{0}=x}\mathbb {E} [1-\exp(-.1\times (\alpha B_{T}+\beta S_{T}))]}$

${\displaystyle =\max _{\beta }\left[1-{\frac {1}{3}}\left[\exp \left(-{\frac {1.10x-20\beta }{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10x}{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10x+20\beta }{10}}\right)\right]\right]}$.

Que se maximiza cuando , por lo tanto . ${\displaystyle \beta =0}$ ${\displaystyle V(x,0)=1-\exp \left(-{\frac {1.10x}{10}}\right)}$

Ahora, para encontrar el precio de oferta de indiferencia, resuelva para ${\displaystyle V(x-v^{b}(1),1)}$

${\displaystyle V(x-v^{b}(1),1)=\max _{\alpha B_{0}+\beta S_{0}=x-v^{b}(1)}\mathbb {E} [1-\exp(-.1\times (\alpha B_{T}+\beta S_{T}+C_{T}))]}$

${\displaystyle =\max _{\beta }\left[1-{\frac {1}{3}}\left[\exp \left(-{\frac {1.10(x-v^{b}(1))-20\beta }{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10(x-v^{b}(1))}{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10(x-v^{b}(1))+20\beta +20}{10}}\right)\right]\right]}$

Que se maximiza cuando , por lo tanto . ${\displaystyle \beta =-{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle V(x-v^{b}(1),1)=1-{\frac {1}{3}}\exp(-1.10x/10)\exp(1.10v^{b}(1)/10)\left[1+2\exp(-1)\right]}$

Por lo tanto, cuando . ${\displaystyle V(x,0)=V(x-v^{b}(1),1)}$ ${\displaystyle v^{b}(1)={\frac {10}{1.1}}\log \left({\frac {3}{1+2\exp(-1)}}\right)\approx 4.97}$

De manera similar, resuelva para encontrar el precio de venta de indiferencia. ${\displaystyle v^{a}(1)}$

Véase también

• Disposición a pagar
• Voluntad de aceptar

Notas

• Si los límites de precio de indiferencia son para una reclamación, entonces por definición ... ^[2] ${\displaystyle \left[v^{b}(k),v^{a}(k)\right]}$ ${\displaystyle v^{b}(k)=-v^{a}(-k)}$
• Si es el precio de oferta de indiferencia para un reclamo y son el precio de supercobertura y los precios de subcobertura respectivamente, entonces . Por lo tanto, en un mercado completo, el precio de indiferencia siempre es igual al precio para cubrir el reclamo. ${\displaystyle v(k)}$ ${\displaystyle v^{sup}(k),v^{sub}(k)}$ ${\displaystyle v^{sub}(k)\leq v(k)\leq v^{sup}(k)}$

Referencias

1. John R. Birge (2008). Ingeniería financiera . Elsevier. págs. 521–524. ISBN. 978-0-444-51781-4.
2. Carmona, Rene (2009). Precios de indiferencia: teoría y aplicaciones . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13883-1.