En matemáticas financieras , una cartera autofinanciada es una cartera que tiene la característica de que, si no hay infusión o retiro exógeno de dinero, la compra de un nuevo activo debe financiarse con la venta de uno antiguo. [ cita requerida ] Este concepto se utiliza para definir, por ejemplo, estrategias admisibles y carteras replicables , siendo estas últimas fundamentales para la fijación de precios de derivados sin arbitraje .
Definición matemática
Tiempo discreto
Supongamos que tenemos un espacio de probabilidad filtrado discreto y sea el cono de solvencia (con o sin costos de transacción ) en el momento t para el mercado. Denotamos por . Entonces una cartera (en unidades físicas, es decir, el número de cada acción) se autofinancia (con negociación sólo en un conjunto finito de tiempos) si ![{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t=0}^{T},P)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K_{t}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L_{d}^{p}(K_{t})=\{X\in L_{d}^{p}({\mathcal {F}}_{T}):X\in K_{ t}\;Pa.s.\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (H_{t})_{t=0}^{T}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- para todos tenemos eso con la convención que . [1]
![{\displaystyle t\in \{0,1,\dots ,T\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H_{t}-H_{t-1}\in -K_{t}\;Pa.s.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H_{-1}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si sólo nos preocupa el conjunto que puede tener la cartera en algún momento futuro, entonces podemos decir eso .![{\displaystyle H_{\tau }\in -K_{0}-\sum _{k=1}^{\tau }L_{d}^{p}(K_{k})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si hay costos de transacción, entonces solo se debe considerar el comercio discreto y, en tiempo continuo, los cálculos anteriores se deben llevar al límite tal que .![{\displaystyle \Delta t\a 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tiempo continuo
Sea un mercado sin fricción semimartingala d-dimensional y un proceso estocástico predecible d-dimensional tal que existan las integrales estocásticas . El proceso indica el número de acciones del número de acciones en la cartera en ese momento y el precio del número de acciones . Denota el proceso de valor de la estrategia comercial por
![{\displaystyle h^{i}\cdot S^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \forall \,i=1,\dots,d}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h_{t}^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S_{t}^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{t}=\sum _{i=1}^{n}h_{t}^{i}S_{t}^{i}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces la cartera/la estrategia comercial se denomina autofinanciación si![{\displaystyle h=\left((h_{t}^{1},\dots,h_{t}^{d})\right)_{t}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
. [2]
El plazo corresponde a la riqueza inicial de la cartera, mientras que es la ganancia o pérdida acumulada de la negociación hasta el momento . Esto significa, en particular, que no ha habido ninguna inyección ni retirada de dinero de la cartera.![{\displaystyle h_{0}\cdot S_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _ {0}^{t}h_{u}\cdot \mathrm {d} S_ {u}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- ^ Hamel, Andrés; Heyde, Frank; Rudloff, Birgit (30 de noviembre de 2010). "Medidas de riesgo con valores establecidos para modelos de mercado cónicos". arXiv : 1011.5986v1 [q-fin.RM].
- ^ Björk, Tomas (2009). Teoría del arbitraje en tiempo continuo (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 87.ISBN 978-0-19-877518-8.