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Probabilidad imprecisa

La probabilidad imprecisa generaliza la teoría de la probabilidad para permitir especificaciones de probabilidad parciales y es aplicable cuando la información es escasa, vaga o conflictiva, en cuyo caso puede resultar difícil identificar una distribución de probabilidad única . Por lo tanto, la teoría pretende representar el conocimiento disponible con mayor precisión. La imprecisión es útil para abordar la obtención de información por parte de expertos porque:

Introducción

La incertidumbre se modela tradicionalmente mediante una distribución de probabilidad , como la desarrollada por Kolmogorov , [1] Laplace , de Finetti , [2] Ramsey , Cox , Lindley y muchos otros. Sin embargo, esto no ha sido aceptado unánimemente por científicos, estadísticos y probabilistas: se ha argumentado que se requiere alguna modificación o ampliación de la teoría de la probabilidad, porque uno no siempre puede ser capaz de proporcionar una probabilidad para cada evento, particularmente cuando solo hay poca información o datos disponibles (un ejemplo temprano de tal crítica es la crítica de Boole [3] al trabajo de Laplace ), o cuando deseamos modelar probabilidades con las que un grupo está de acuerdo, en lugar de las de un solo individuo.

Tal vez la generalización más común es reemplazar una única especificación de probabilidad por una especificación de intervalo. Las probabilidades inferior y superior , denotadas por y , o más generalmente, expectativas inferiores y superiores (previsiones), [4] [5] [6] [7] tienen como objetivo llenar este vacío. Una función de probabilidad inferior es superaditiva pero no necesariamente aditiva, mientras que una probabilidad superior es subaditiva. Para obtener una comprensión general de la teoría, considere:

Tenemos entonces un continuo flexible de modelos más o menos precisos entre ambos extremos.

Algunos enfoques, resumidos bajo el nombre de probabilidades no aditivas , [8] utilizan directamente una de estas funciones de conjunto , asumiendo que la otra está definida naturalmente de modo que , con el complemento de . Otros conceptos relacionados entienden los intervalos correspondientes para todos los eventos como la entidad básica. [9] [10]

Historia

La idea de utilizar la probabilidad imprecisa tiene una larga historia. El primer tratamiento formal se remonta al menos a mediados del siglo XIX, por George Boole [3] , quien tuvo como objetivo reconciliar las teorías de la lógica y la probabilidad. En la década de 1920, en A Treatise on Probability , Keynes [11] formuló y aplicó un enfoque explícito de estimación de intervalos a la probabilidad. El trabajo sobre modelos de probabilidad imprecisa avanzó de manera irregular a lo largo del siglo XX, con importantes contribuciones de Bernard Koopman , CAB Smith , IJ Good , Arthur Dempster , Glenn Shafer , Peter M. Williams, Henry Kyburg , Isaac Levi y Teddy Seidenfeld . [12] A principios de la década de 1990, el campo comenzó a ganar algo de impulso, con la publicación del libro de Peter Walley Razonamiento estadístico con probabilidades imprecisas [7] (que también es de donde se origina el término "probabilidad imprecisa"). En la década de 1990 también aparecieron importantes trabajos de Kuznetsov [13] y de Weichselberger [9] [10] , quienes utilizan el término probabilidad de intervalo . La teoría de Walley extiende la teoría tradicional de la probabilidad subjetiva a través de los precios de compra y venta de apuestas, mientras que el enfoque de Weichselberger generaliza los axiomas de Kolmogorov sin imponer una interpretación.

Las condiciones de consistencia estándar relacionan las asignaciones de probabilidad superior e inferior con conjuntos convexos cerrados no vacíos de distribuciones de probabilidad. Por lo tanto, como un subproducto bienvenido, la teoría también proporciona un marco formal para los modelos utilizados en estadísticas robustas [14] y estadísticas no paramétricas . [15] También se incluyen conceptos basados ​​en la integración de Choquet , [16] y las llamadas capacidades bimonótonas y totalmente monótonas, [17] que se han vuelto muy populares en inteligencia artificial bajo el nombre de funciones de creencia (Dempster-Shafer) . [18] [19] Además, existe una fuerte conexión [20] con la noción de probabilidad teórica de juegos de Shafer y Vovk . [21]

Modelos matemáticos

El término "probabilidad imprecisa" es un tanto engañoso, ya que a menudo se confunde precisión con exactitud, mientras que una representación imprecisa puede ser más precisa que una representación falsamente precisa. En cualquier caso, el término parece haberse establecido en la década de 1990 y cubre una amplia gama de extensiones de la teoría de la probabilidad , entre ellas:

Interpretación de probabilidades imprecisas

Walley propuso una unificación de muchas de las teorías de probabilidad imprecisa mencionadas anteriormente [7], aunque este no es de ninguna manera el primer intento de formalizar probabilidades imprecisas. En términos de interpretaciones de probabilidad , la formulación de Walley de probabilidades imprecisas se basa en la variante subjetiva de la interpretación bayesiana de la probabilidad. Walley define las probabilidades superior e inferior como casos especiales de previsiones superior e inferior y el marco de juego propuesto por Bruno de Finetti . En términos simples, la previsión inferior de un tomador de decisiones es el precio más alto al que el tomador de decisiones está seguro de que compraría una apuesta, y la previsión superior es el precio más bajo al que el tomador de decisiones está seguro de que compraría lo opuesto a la apuesta (que es equivalente a vender la apuesta original). Si las previsiones superior e inferior son iguales, entonces representan conjuntamente el precio justo del tomador de decisiones por la apuesta, el precio al que el tomador de decisiones está dispuesto a tomar cualquiera de los lados de la apuesta. La existencia de un precio justo conduce a probabilidades precisas.

La diferencia principal entre las teorías de probabilidad precisas e imprecisas es la tolerancia a la imprecisión, o la brecha entre las previsiones superior e inferior de un tomador de decisiones. Esas brechas surgen naturalmente en los mercados de apuestas que resultan financieramente ilíquidos debido a la información asimétrica . Henry Kyburg también menciona esa brecha repetidamente para sus probabilidades de intervalo, aunque él e Isaac Levi también dan otras razones para los intervalos, o conjuntos de distribuciones, que representan estados de creencia.

Problemas con probabilidades imprecisas

Un problema con las probabilidades imprecisas es que a menudo hay un grado independiente de precaución o audacia inherente al uso de un intervalo, en lugar de uno más amplio o más estrecho. Esto puede ser un grado de confianza, un grado de pertenencia difusa o un umbral de aceptación. Esto no es un problema tan grande para los intervalos que son límites inferiores y superiores derivados de un conjunto de distribuciones de probabilidad, por ejemplo, un conjunto de valores a priori seguido de una condicionalización en cada miembro del conjunto. Sin embargo, puede llevar a la pregunta de por qué algunas distribuciones se incluyen en el conjunto de valores a priori y otras no.

Otra cuestión es por qué se puede ser preciso con dos números, un límite inferior y un límite superior, en lugar de con un solo número, una probabilidad puntual. Esta cuestión puede ser meramente retórica, ya que la solidez de un modelo con intervalos es inherentemente mayor que la de un modelo con probabilidades con valores puntuales. Sin embargo, plantea inquietudes sobre afirmaciones inapropiadas de precisión en los puntos finales, así como para los valores puntuales.

Una cuestión más práctica es qué tipo de teoría de decisiones puede hacer uso de probabilidades imprecisas. [31] Para medidas difusas, existe el trabajo de Ronald R. Yager . [32] Para conjuntos convexos de distribuciones, los trabajos de Levi son instructivos. [33] Otro enfoque pregunta si el umbral que controla la negrita del intervalo importa más para una decisión que simplemente tomar el promedio o usar una regla de decisión de Hurwicz . [34] Otros enfoques aparecen en la literatura. [35] [36] [37] [38]

Véase también

Referencias

  1. ^ Kolmogorov, AN (1950). Fundamentos de la teoría de la probabilidad. Nueva York: Chelsea Publishing Company.
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  5. ^ abc Williams, Peter M. (1975). Notas sobre previsiones condicionales . Facultad de Matemáticas y Ciencias Físicas, Universidad de Sussex.
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