Implicación material (regla de inferencia)

Regla de reemplazo en lógica proposicional

En lógica proposicional , la implicación material ^{[1] [2]} es una regla válida de reemplazo que permite reemplazar un enunciado condicional por una disyunción en la que se niega el antecedente . La regla establece que P implica que Q es lógicamente equivalente a no -o y que cualquiera de las dos formas puede reemplazar a la otra en las demostraciones lógicas . En otras palabras, si es verdadero, entonces también debe ser verdadero, mientras que si no es verdadero, entonces tampoco puede ser verdadero; además, cuando no es verdadero, puede ser verdadero o falso. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle P\to Q\Leftrightarrow \neg P\lor Q,}$

donde " " es un símbolo metalógico que representa "puede reemplazarse en una prueba con", P y Q son enunciados lógicos cualesquiera y pueden leerse como "(no P ) o Q ". Para ilustrar esto, considere los siguientes enunciados: ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \neg P\lor Q}$

• ${\displaystyle P}$:Sam comió una naranja para el almuerzo.
• ${\displaystyle Q}$:Sam comió una fruta para el almuerzo.

Entonces, decir "Sam comió una naranja en el almuerzo" implica "Sam comió una fruta en el almuerzo" ( ). Lógicamente, si Sam no comió una fruta en el almuerzo, entonces Sam tampoco puede haber comido una naranja en el almuerzo (por contraposición ). Sin embargo, decir simplemente que Sam no comió una naranja en el almuerzo no proporciona información sobre si Sam comió o no una fruta (de cualquier tipo) en el almuerzo. ${\displaystyle P\to Q}$

Prueba parcial

Supongamos que se nos da que . Entonces tenemos por la ley del tercero excluido ^{[ aclaración necesaria ]} (es decir , o debe ser verdadero o no debe ser verdadero). ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \neg P\lor P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Posteriormente, dado que , puede reemplazarse por en el enunciado, y por lo tanto se sigue que (es decir , debe ser verdadero o no debe ser verdadero). ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \neg P\lor Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Supongamos, por el contrario, que se nos da . Entonces, si es verdadero, eso descarta el primer disyunto, por lo que tenemos . En resumen, . ^[3] Sin embargo, si es falso, entonces esta implicación falla, porque el primer disyunto es verdadero, lo que no impone ninguna restricción al segundo disyunto . Por lo tanto, nada se puede decir acerca de . En suma, la equivalencia en el caso de falso es solo convencional y, por lo tanto, la prueba formal de equivalencia es solo parcial. ${\displaystyle \neg P\lor Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle P}$

Esto también se puede expresar con una tabla de verdad :

Ejemplo

Un ejemplo: se nos da el hecho condicional de que si es un oso, entonces puede nadar. Luego, se comparan las 4 posibilidades de la tabla de verdad con ese hecho.

1. Si es un oso, entonces puede nadar.
2. Si es un oso, entonces no puede nadar.
3. Si no es un oso, entonces puede nadar — T porque no contradice nuestro hecho inicial.
4. Si no es un oso, entonces no puede nadar — T (como arriba)

Así, el hecho condicional se puede convertir a , que es "no es un oso" o "puede nadar", donde es el enunciado "es un oso" y es el enunciado "puede nadar". ${\displaystyle \neg P\vee Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Referencias

1. Patrick J. Hurley (1 de enero de 2011). Una breve introducción a la lógica. Cengage Learning. ISBN 978-0-8400-3417-5.
2. Copi, Irving M. ; Cohen, Carl (2005). Introducción a la lógica . Prentice Hall. pág. 371.
3. "Equivalencia de a→b y ¬ a ∨ b". Intercambio de pila de matemáticas .