Sesgo del asiento

Métrica de equidad de los métodos de distribución

El sesgo de escaños es una propiedad que describe los métodos de distribución de escaños . Estos son métodos utilizados para asignar escaños en un parlamento entre estados federales o entre partidos políticos . Un método es sesgado si favorece sistemáticamente a los partidos pequeños sobre los grandes, o viceversa. Hay varias medidas matemáticas de sesgo, que pueden diferir ligeramente, pero todas las medidas coinciden en general en que las reglas basadas en la cuota de Droop o el método de Jefferson están fuertemente sesgadas a favor de los grandes partidos, mientras que las reglas basadas en el método de Webster , el método de Hill o la cuota de Hare tienen bajos niveles de sesgo, ^[1] siendo las diferencias lo suficientemente pequeñas como para que diferentes definiciones de sesgo produzcan resultados diferentes. ^[2]

Notación

Hay un entero positivo (=tamaño de la cámara), que representa el número total de escaños que se deben asignar. Hay un entero positivo que representa el número de partidos a los que se deben asignar escaños. Hay un vector de fracciones con , que representa los derechos , es decir, la fracción de escaños a los que tiene derecho un partido (de un total de ). Esta suele ser la fracción de votos que el partido ha ganado en las elecciones. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (t_{1},\ldots ,t_{n})}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}t_{i}=1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle h}$

El objetivo es encontrar un método de reparto que sea un vector de números enteros con , llamado reparto de , donde es el número de escaños asignados al partido i . ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Un método de distribución es una función multivalor que toma como entrada un vector de derechos y un tamaño de vivienda, y devuelve como salida una distribución de . ${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h)}$ ${\displaystyle h}$

Orden de mayorización

Decimos que un método de reparto favorece más a los partidos pequeños que si, para cada t y h , y para cada y , implica o . ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {a'} \in M'(\mathbf {t} ,h)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} \in M(\mathbf {t} ,h)}$ ${\displaystyle t_{i}<t_{j}}$ ${\displaystyle a_{i}'\geq a_{i}}$ ${\displaystyle a_{j}'\leq a_{j}}$

Si y son dos métodos divisores con funciones divisoras y , y siempre que , entonces favorece a los agentes pequeños más que a . ^{[1] : Teoría 5.1} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d'}$ ${\displaystyle d'(a)/d'(b)>d(a)/d(b)}$ ${\displaystyle a>b}$ ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle M}$

Este hecho puede expresarse utilizando el orden de mayorización de vectores. Un vector a mayoriza otro vector b si para todos los k , los k partidos más grandes reciben en a al menos tantos escaños como reciben en b . Un método de reparto mayoriza otro método , si para cualquier tamaño de cámara y vector de derechos, mayoriza . Si y son dos métodos divisores con funciones divisoras y , y siempre que , entonces mayoriza . Por lo tanto, el método de Adams es mayorizado por el de Dean, que es mayorizado por el de Hill, que es mayorizado por el de Webster, que es mayorizado por el de Jefferson. ^[3] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h)}$ ${\displaystyle M'(\mathbf {t} ,h)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d'}$ ${\displaystyle d'(a)/d'(b)>d(a)/d(b)}$ ${\displaystyle a>b}$ ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle M}$

Los métodos de cuota desplazada ( restos más grandes ) con cuota también se ordenan por mayorización, donde los métodos con s más pequeños son mayorizados por métodos con s más grandes . ^[3] ${\displaystyle q_{i}=t_{i}\cdot (h+s)}$

Promedio de todos los tamaños de casas

Para medir el sesgo de un determinado método de distribución M, se puede comprobar, para cada par de derechos , el conjunto de todas las posibles distribuciones que arroja M, para todos los tamaños de vivienda posibles. Teóricamente, el número de tamaños de vivienda posibles es infinito, pero como normalmente son números racionales, es suficiente comprobar los tamaños de vivienda hasta el producto de sus denominadores . Para cada tamaño de vivienda, se puede comprobar si o . Si el número de tamaños de vivienda para los que es igual al número de tamaños de vivienda para los que , entonces el método es imparcial. El único método imparcial, según esta definición, es el método de Webster . ^{[1] : Prop.5.2} ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}/t_{1}>a_{2}/t_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}/t_{1}<a_{2}/t_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}/t_{1}>a_{2}/t_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}/t_{1}<a_{2}/t_{2}}$

Promedio de todos los pares de derechos

También se puede comprobar, para cada par de posibles asignaciones , el conjunto de todos los pares de derechos para los que el método M produce las asignaciones (para ). Suponiendo que los derechos se distribuyen uniformemente al azar, se puede calcular la probabilidad de que M favorezca al estado 1 frente a la probabilidad de que favorezca al estado 2. Por ejemplo, la probabilidad de que un estado que recibe 2 escaños sea favorecido sobre un estado que recibe 4 escaños es del 75% para Adams, del 63,5% para Dean, del 57% para Hill, del 50% para Webster y del 25% para Jefferson. ^{[1] : Prop.5.2} El único método de divisor proporcional para el que esta probabilidad es siempre del 50% es Webster. ^{[1] : Thm.5.2} Hay otros métodos de divisor que producen una probabilidad del 50%, pero no satisfacen el criterio de proporcionalidad tal como se define en la sección "Requisitos básicos" anterior. El mismo resultado se mantiene si, en lugar de comprobar pares de agentes, comprobamos pares de grupos de agentes. ^{[1] : Teoría 5.3} ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ ${\displaystyle h=a_{1}+a_{2}}$

Promedio de todos los vectores de derechos

También se puede comprobar, para cada vector de derechos (cada punto en el símplex estándar ), cuál es el sesgo por escaño del agente con el k -ésimo derecho más alto. Al promediar este número sobre todo el símplex estándar se obtiene una fórmula de sesgo por escaño .

Métodos de divisor estacionario

Para cada método de divisor estacionario , es decir, aquel en el que los escaños corresponden a un divisor , y umbral electoral : ^{[4] : ​​Sub.7.10} ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle d(a)=a+r}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\text{MeanBias}}(r,k,t)=(r-1/2)\cdot \left(\sum _{i=k}^{n}(1/i)-1\right)\cdot (1-nt)}$

En particular, el método de Webster es el único imparcial de esta familia. La fórmula es aplicable cuando el tamaño de la casa es suficientemente grande, en particular, cuando . Cuando el umbral es insignificante, el tercer término puede ignorarse. Entonces, la suma de los sesgos medios es: ${\displaystyle h\geq 2n}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\text{MeanBias}}(r,k,0)\approx (r-1/2)\cdot (n/e-1)}$, cuando la aproximación es válida para . ${\displaystyle n\geq 5}$

Dado que el sesgo medio favorece a los partidos grandes cuando , existe un incentivo para que los partidos pequeños formen alianzas partidarias (=coaliciones). Tales alianzas pueden inclinar el sesgo a su favor. La fórmula del sesgo por escaños se puede extender a entornos con tales alianzas. ^{[4] : Sub.7.11} ${\displaystyle r>1/2}$

Para métodos de cuotas desplazadas

Para cada método de cuota desplazada ( método de los mayores residuos ) con cuota , cuando los vectores de derechos se extraen de manera uniforme al azar del símplex estándar, ${\displaystyle q_{i}=t_{i}\cdot (h+s)}$

${\displaystyle {\text{MeanBias}}(s,k,t)={\frac {s}{n}}\cdot \left(\sum _{i=k}^{n}(1/i)-1\right)\cdot (1-nt)}$

En particular, el método de Hamilton es el único imparcial de esta familia. ^[4]

Datos empíricos

Utilizando datos del censo de los Estados Unidos , Balinski y Young argumentaron que el método de Webster es el estimador con menor sesgo de mediana para comparar pares de estados, seguido de cerca por el método de Huntington-Hill . ^[1] Sin embargo, los investigadores han descubierto que bajo otras definiciones o métricas de sesgo, el método de Huntington-Hill también puede describirse como el menos sesgado. ^[2]

Referencias

1. Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (1982). Representación justa: alcanzar el ideal de un hombre, un voto . New Haven: Yale University Press. ISBN 0-300-02724-9.
2. Ernst, Lawrence R. (1994). "Métodos de distribución de escaños para la Cámara de Representantes y los desafíos a la Corte". Management Science . 40 (10): 1207–1227. ISSN  0025-1909.
3. Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ed.), "Preferir partidos más fuertes a partidos más débiles: Mayorización", Representación proporcional: métodos de distribución y sus aplicaciones , Cham: Springer International Publishing, págs. 149–157, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_8, ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 1 de septiembre de 2021
4. Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (ed.), "Favorecer a algunos a expensas de otros: sesgos de asientos", Representación proporcional: métodos de distribución y sus aplicaciones , Cham: Springer International Publishing, págs. 127–147, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_7, ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 1 de septiembre de 2021