La igualdad es una técnica desarrollada por Pierre de Fermat en su tratado Methodus ad disquirendam maximam et minimam [1] (un tratado en latín que circuló en Francia c. 1636) para calcular máximos y mínimos de funciones, tangentes a curvas, área , centro de masa , acción mínima y otros problemas de cálculo . Según André Weil , Fermat "introduce el término técnico adaequalitas, adaequare, etc., que dice haber tomado prestado de Diofanto . Como muestra Diofanto V.11, significa una igualdad aproximada, y así es como Fermat explica la palabra en uno de sus últimos escritos." (Weil 1973). [2] Diofanto acuñó la palabra παρισότης ( parisotēs ) para referirse a una igualdad aproximada. [3] Claude Gaspard Bachet de Méziriac tradujo la palabra griega de Diofanto al latín como adaequalitas . [ cita necesaria ] La traducción francesa de Paul Tannery de los tratados latinos de Fermat sobre máximos y mínimos utilizó las palabras adéquation y adégaler . [ cita necesaria ]
Fermat utilizó primero una desigualdad para encontrar máximos de funciones y luego la adaptó para encontrar rectas tangentes a curvas.
Para encontrar el máximo de un término , Fermat igualaba (o más precisamente adecuaba) y después de hacer álgebra podía cancelar un factor de y luego descartar cualquier término restante que involucrara. Para ilustrar el método con el ejemplo del propio Fermat, considere el problema de encontrar el máximo de (En palabras de Fermat, es dividir una línea de longitud en un punto , de manera que el producto de las dos partes resultantes sea un máximo. [1] ) Fermat se adecua con . Es decir (usando la notación para denotar una desigualdad, introducida por Paul Tannery ):
Cancelando términos y dividiendo por Fermat se llegó a
Quitando los términos que contenía Fermat se llegó al resultado deseado que se produjo el máximo cuando .
Fermat también utilizó su principio para dar una derivación matemática de las leyes de refracción de Snell directamente a partir del principio de que la luz toma el camino más rápido. [4]
El método de Fermat fue muy criticado por sus contemporáneos, particularmente por Descartes . Victor Katz sugiere que esto se debe a que Descartes había descubierto de forma independiente las mismas nuevas matemáticas, conocidas como su método de las normales , y Descartes estaba bastante orgulloso de su descubrimiento. Katz también señala que si bien los métodos de Fermat estaban más cerca de los desarrollos futuros del cálculo, los métodos de Descartes tuvieron un impacto más inmediato en el desarrollo. [5]
Tanto Newton como Leibniz se refirieron al trabajo de Fermat como un antecedente del cálculo infinitesimal . Sin embargo, existe desacuerdo entre los estudiosos modernos sobre el significado exacto de la igualdad de Fermat. La desigualdad de Fermat fue analizada en varios estudios académicos. En 1896, Paul Tannery publicó una traducción francesa de los tratados latinos de Fermat sobre máximos y mínimos (Fermat, Œuvres, Vol. III, págs. 121-156). Tannery tradujo el término de Fermat como “adégaler” y adoptó la “adéquation” de Fermat. Tannery también introdujo el símbolo de desigualdad en las fórmulas matemáticas.
Heinrich Wieleitner (1929) [6] escribió:
Fermat reemplaza A con A + E . Luego establece la nueva expresión aproximadamente igual ( angenähert gleich ) a la anterior, cancela los términos iguales en ambos lados y la divide por la potencia más alta posible de E. Luego cancela todos los términos que contienen E y establece los que permanecen iguales entre sí. De ahí resulta [la requerida] A. Que E debería ser lo más pequeño posible no se dice en ninguna parte y, en el mejor de los casos, se expresa con la palabra "adaequalitas".
(Wieleitner utiliza el símbolo .)
Max Miller (1934) [7] escribió:
Entonces hay que poner ambos términos, que expresan el máximo y el mínimo, aproximadamente iguales ( näherungsweise gleich ), como dice Diofanto.
(Miller usa el símbolo ).
Jean Itard (1948) [8] escribió:
Se sabe que la expresión "adégaler" es adoptada por Fermat de Diofanto, traducida por Xylander y por Bachet. Se trata de una igualdad aproximada ( égalité approximative )".
(Itard usa el símbolo ).
Joseph Ehrenfried Hofmann (1963) [9] escribió:
Fermat elige una cantidad h , considerada suficientemente pequeña, y pone f ( x + h ) aproximadamente igual ( ungefähr gleich ) a f ( x ). Su término técnico es adecuado .
(Hofmann usa el símbolo .)
Peer Strømholm (1968) [10] escribió:
La base del enfoque de Fermat fue la comparación de dos expresiones que, aunque tenían la misma forma, no eran exactamente iguales . A esta parte del proceso la llamó " comparare par adaequalitatem " o " comparer per adaequalitatem ", e implicaba que la identidad estricta entre los dos lados de la "ecuación" era destruida por la modificación de la variable en una pequeña cantidad:
.
Este, creo, fue el verdadero significado de su uso de la πἀρισον de Diofanto, enfatizando la pequeñez de la variación. La traducción habitual de 'adaequalitas' parece ser " igualdad aproximada ", pero prefiero " pseudoigualdad " para presentar el pensamiento de Fermat en este punto.
Además, señala que "nunca hubo en M1 (Método 1) ninguna cuestión de que la variación E fuera igual a cero. Las palabras que Fermat usó para expresar el proceso de supresión de términos que contienen E fueron 'elido', 'deleo' y ' expungo', y en francés 'i'efface' y 'i'ôte'. Difícilmente podemos creer que un hombre en su sano juicio, deseando expresar su significado y buscando palabras, encuentre constantemente formas tan tortuosas de comunicar el simple hecho de que el Los términos desaparecieron porque E era cero. (p. 51) Claus Jensen (1969) [11] escribió:
Además, al aplicar la noción de adégalité –que constituye la base del método general de Fermat para construir tangentes, y por la cual se entiende una comparación de dos magnitudes como si fueran iguales, aunque en realidad no lo son ("tamquam essent aequalia, licet revera aequalia non sint") – emplearé el símbolo más habitual hoy en día .
La cita en latín proviene de la edición de Fermat de Tannery de 1891, volumen 1, página 140. Michael Sean Mahoney (1971) [12] escribió:
El método de máximos y mínimos de Fermat, que es claramente aplicable a cualquier polinomio P(x) , originalmente se basaba en fundamentos algebraicos puramente finitistas . Supuso, contrafácticamente , la desigualdad de dos raíces iguales para determinar, mediante la teoría de ecuaciones de Viete, una relación entre esas raíces y uno de los coeficientes del polinomio, relación que era plenamente general. Esta relación condujo luego a una solución de valor extremo cuando Fermat eliminó su supuesto contrafactual y igualó las raíces. Tomando prestado un término de Diofanto, Fermat llamó a esta igualdad contrafactual "adecuación".
(Mahoney usa el símbolo .) En la pág. 164, final de la nota 46, Mahoney señala que uno de los significados de una desigualdad es igualdad aproximada o igualdad en el caso límite . Charles Henry Edwards, Jr. (1979) [13] escribió:
Por ejemplo, para determinar cómo subdividir un segmento de longitud en dos segmentos y cuyo producto sea máximo, es decir encontrar el rectángulo con perímetro que tenga el área máxima, él [Fermat] procede de la siguiente manera. Primero lo sustituyó
(usó A , E en lugar de x , e ) para la x desconocida , y luego escribió la siguiente "pseudoigualdad" para comparar la expresión resultante con la original:
Después de cancelar términos, dividió por e para obtener Finalmente descartó el término restante que contenía e , transformando la pseudoigualdad en la verdadera igualdad que da el valor de x que se hace máximo. Desafortunadamente, Fermat nunca explicó la base lógica de este método con suficiente claridad o integridad para evitar desacuerdos entre los estudiosos de la historia sobre exactamente lo que quiso decir o pretendió."
Kirsti Andersen (1980) [14] escribió:
Las dos expresiones de máximo o mínimo se hacen "adecuadas" , lo que significa algo así como lo más igual posible .
(Andersen usa el símbolo .) Herbert Breger (1994) [15] escribió:
Quiero exponer mi hipótesis: Fermat utilizó la palabra "adaequare" en el sentido de "poner igual" ... En un contexto matemático, la única diferencia entre "aequare" y "adaequare" parece ser que este último da más énfasis en el hecho de que se logra la igualdad.
(Página 197 y siguientes). John Stillwell (Stillwell 2006 p. 91) escribió:
Fermat introdujo la idea de igualdad en la década de 1630, pero se adelantó a su tiempo. Sus sucesores no estaban dispuestos a renunciar a la conveniencia de las ecuaciones ordinarias, prefiriendo usar la igualdad de manera vaga en lugar de usar una igualdad con precisión. La idea de desigualdad no revivió hasta el siglo XX, en el llamado análisis no estándar .
Enrico Giusti (2009) [16] cita la carta de Fermat a Marin Mersenne donde Fermat escribió:
Cette comparaison par adégalité produit deux termes inégaux qui enfin produisent l'égalité (selon ma méthode) qui nous donne la solución de la question" ("Esta comparación por adecuación produce dos términos desiguales que finalmente producen la igualdad (siguiendo mi método) que da nosotros la solución del problema").
Giusti señala en una nota a pie de página que esta carta parece haber pasado desapercibida para Breger.
Klaus Barner (2011) [17] afirma que Fermat utiliza dos palabras latinas diferentes (aequabitur y adaequabitur) para reemplazar el signo igual habitual hoy en día, aequabitur cuando la ecuación se refiere a una identidad válida entre dos constantes, una fórmula universalmente válida (probada), o una ecuación condicional, adaequabitur , sin embargo, cuando la ecuación describe una relación entre dos variables, que no son independientes (y la ecuación no es una fórmula válida). En la página 36, Barner escribe: "¿Por qué Fermat repetía continuamente su procedimiento inconsistente para todos sus ejemplos del método de las tangentes? ¿Por qué nunca mencionó la secante, con la que de hecho operaba? No lo sé".
Katz, Schaps, Shnider (2013) [18] sostienen que la aplicación de la técnica por parte de Fermat a curvas trascendentales como la cicloide muestra que la técnica de adecuación de Fermat va más allá de un algoritmo puramente algebraico y que, contrariamente a la interpretación de Breger, los términos técnicos parisotes como lo usa Diofanto y adaequalitas como lo usa Fermat ambos significan "igualdad aproximada". Desarrollan una formalización de la técnica de desigualdad de Fermat en las matemáticas modernas como la función parcial estándar que redondea un número hiperreal finito a su número real más cercano .
