En lógica , extensionalidad o igualdad extensional se refiere a principios que juzgan que los objetos son iguales si tienen las mismas propiedades externas. Contrasta con el concepto de intensionalidad , que se ocupa de si las definiciones internas de los objetos son las mismas.
La definición extensiva de igualdad de funciones, analizada anteriormente, se usa comúnmente en matemáticas. Generalmente se emplea una definición extensional similar para las relaciones : se dice que dos relaciones son iguales si tienen las mismas extensiones .
En la teoría de conjuntos , el axioma de extensionalidad establece que dos conjuntos son iguales si y sólo si contienen los mismos elementos. En las matemáticas formalizadas en la teoría de conjuntos, es común identificar relaciones (y, lo más importante, funciones ) con su extensión como se indicó anteriormente, de modo que es imposible distinguir dos relaciones o funciones con la misma extensión.
Otros objetos matemáticos también se construyen de tal manera que la noción intuitiva de "igualdad" concuerde con la igualdad extensional de nivel establecido; por tanto, los pares ordenados iguales tienen elementos iguales y los elementos de un conjunto que están relacionados por una relación de equivalencia pertenecen a la misma clase de equivalencia .
Los fundamentos teóricos de tipos de las matemáticas generalmente no son extensionales en este sentido, y los setoides se usan comúnmente para mantener una diferencia entre igualdad intensional y una relación de equivalencia más general (que generalmente tiene propiedades de constructibilidad o decidibilidad deficientes ).
Hay varios principios de extensionalidad en matemáticas.
Dependiendo del fundamento elegido, algunos principios de extensionalidad pueden implicar otros. Por ejemplo, es bien sabido que en fundamentos univalentes , el axioma de univalencia implica extensionalidad tanto proposicional como funcional. Los principios de extensionalidad suelen asumirse como axiomas, especialmente en teorías de tipos donde se debe preservar el contenido computacional. Sin embargo, en la teoría de conjuntos y otros fundamentos extensionales, se puede demostrar que la extensionalidad funcional se cumple por defecto.
Considere las dos funciones f y g que se asignan desde y hacia números naturales , definidas de la siguiente manera:
Estas funciones son extensivamente iguales; dada la misma entrada, ambas funciones siempre producen el mismo valor. Pero las definiciones de las funciones no son iguales y, en ese sentido intensional, las funciones no son las mismas.
De manera similar, en el lenguaje natural hay muchos predicados (relaciones) que son intencionalmente diferentes pero extensivamente idénticos. Por ejemplo, supongamos que en un pueblo hay una persona llamada Joe, que también es la persona de mayor edad del pueblo. Entonces, los dos predicados "ser llamado Joe" y "ser la persona más vieja de esta ciudad" son intencionalmente distintos, pero extensivamente iguales para la población (actual) de esta ciudad.
