Coeficientes igualadores

En matemáticas , el método de igualar los coeficientes es una forma de resolver una ecuación funcional de dos expresiones como polinomios para una serie de parámetros desconocidos . Se basa en el hecho de que dos expresiones son idénticas precisamente cuando los coeficientes correspondientes son iguales para cada tipo diferente de término. El método se utiliza para llevar fórmulas a la forma deseada.

Ejemplo en fracciones reales

Supongamos que queremos aplicar descomposición en fracciones parciales a la expresión:

${\displaystyle {\frac {1}{x(x-1)(x-2)}},\,}$

es decir, queremos ponerlo en la forma:

${\displaystyle {\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x-1}}+{\frac {C}{x-2}},\,}$

en el que los parámetros desconocidos son A , B y C . Multiplicar estas fórmulas por x ( x  − 1)( x  − 2) convierte ambas en polinomios, que equiparamos:

${\displaystyle A(x-1)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-1)=1,\,}$

o, después de la expansión y la recopilación de términos con potencias iguales de x :

${\displaystyle (A+B+C)x^{2}-(3A+2B+C)x+2A=1.\,}$

En este punto es fundamental darse cuenta de que el polinomio 1 es en realidad igual al polinomio 0 x ²  + 0 x  + 1, teniendo coeficientes cero para las potencias positivas de x . La equiparación de los coeficientes correspondientes ahora da como resultado este sistema de ecuaciones lineales :

${\displaystyle A+B+C=0,\,}$

${\displaystyle 3A+2B+C=0,\,}$

${\displaystyle 2A=1.\,}$

Resolverlo da como resultado:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}},\,B=-1,\,C={\frac {1}{2}}.\,}$

Ejemplo en radicales anidados

Surge un problema similar, que implica igualar términos similares en lugar de coeficientes de términos similares. Si deseamos desanidar los radicales anidados para obtener una expresión equivalente que no incluya una raíz cuadrada de una expresión que en sí misma incluya una raíz cuadrada, podemos postular la existencia de parámetros racionales d, e tales que ${\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}}$

${\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}={\sqrt {d}}+{\sqrt {e}}.}$

Al elevar al cuadrado ambos lados de esta ecuación se obtiene:

${\displaystyle a+b{\sqrt {c}}=d+e+2{\sqrt {de}}.}$

Para encontrar d y e igualamos los términos que no involucran raíces cuadradas, entonces e igualamos las partes que involucran radicales, de modo que cuando se eleva al cuadrado implica Esto nos da dos ecuaciones, una cuadrática y otra lineal, en los parámetros deseados d y e , y estos pueden resolverse para obtener ${\displaystyle a=d+e,}$ ${\displaystyle b{\sqrt {c}}=2{\sqrt {de}}}$ ${\displaystyle b^{2}c=4de.}$

${\displaystyle e={\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},}$

${\displaystyle d={\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},}$

cuál es un par solución válido si y sólo si es un número racional. ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}$

Ejemplo de prueba de dependencia lineal de ecuaciones.

Considere este sistema de ecuaciones sobredeterminado (con 3 ecuaciones en solo 2 incógnitas):

${\displaystyle x-2y+1=0,}$

${\displaystyle 3x+5y-8=0,}$

${\displaystyle 4x+3y-7=0.}$

Para probar si la tercera ecuación depende linealmente de las dos primeras, postule dos parámetros a y b tales que a multiplicado por la primera ecuación más b multiplicado por la segunda ecuación es igual a la tercera ecuación. Dado que esto siempre es válido para los lados derechos, los cuales son todos 0, simplemente necesitamos exigir que se cumpla también para los lados izquierdos:

${\displaystyle a(x-2y+1)+b(3x+5y-8)=4x+3y-7.}$

Al igualar los coeficientes de x en ambos lados, igualar los coeficientes de y en ambos lados e igualar las constantes en ambos lados se obtiene el siguiente sistema con los parámetros deseados a , b :

${\displaystyle a+3b=4,}$

${\displaystyle -2a+5b=3,}$

${\displaystyle a-8b=-7.}$

Resolverlo da:

${\displaystyle a=1,\ b=1}$

El único par de valores a , b que satisfacen las dos primeras ecuaciones es ( a , b ) = (1, 1); dado que estos valores también satisfacen la tercera ecuación, de hecho existen a , b tales que a multiplicado por la primera ecuación original más b multiplicado por la segunda ecuación original es igual a la tercera ecuación original; Concluimos que la tercera ecuación depende linealmente de las dos primeras.

Tenga en cuenta que si el término constante en la tercera ecuación original hubiera sido distinto de –7, los valores ( a , b ) = (1, 1) que satisfacían las dos primeras ecuaciones en los parámetros no habrían satisfecho la tercera ( a – 8 b = constante), por lo que no existiría a , b que satisfaga las tres ecuaciones en los parámetros y, por lo tanto, la tercera ecuación original sería independiente de las dos primeras.

Ejemplo en números complejos

El método de igualar coeficientes se utiliza a menudo cuando se trata de números complejos . Por ejemplo, para dividir el número complejo a + bi por el número complejo c + di , postulamos que la razón es igual al número complejo e+fi , y deseamos encontrar los valores de los parámetros e y f para los cuales esto es cierto. . Nosotros escribimos

${\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}=e+fi,}$

y multiplicamos ambos lados por el denominador para obtener

${\displaystyle (ce-fd)+(ed+cf)i=a+bi.}$

La equiparación de términos reales da

${\displaystyle ce-fd=a,}$

y equiparando los coeficientes de la unidad imaginaria i da

${\displaystyle ed+cf=b.}$

Estas son dos ecuaciones con parámetros desconocidos e y f , y se pueden resolver para obtener los coeficientes deseados del cociente:

${\displaystyle e={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad f={\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}.}$

Referencias

• Tanton, James (2005). Enciclopedia de Matemáticas . Hechos archivados. pag. 162.ISBN​ 0-8160-5124-0.