En geometría diferencial , la forma de curvatura describe la curvatura de una conexión en un haz principal . El tensor de curvatura de Riemann en la geometría de Riemann puede considerarse como un caso especial.
Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie y P → B sea un paquete G principal . Sea ω una conexión de Ehresmann en P (que es una forma univaluada en P ).
Entonces la forma de curvatura es la forma de 2 valores en P definida por
(En otra convención, 1/2 no aparece). Aquí significa derivada exterior , se define en el artículo " Forma valorada en álgebra de Lie " y D denota la derivada covariante exterior . En otros términos, [1]
donde X , Y son vectores tangentes a P .
También hay otra expresión para Ω: si X , Y son campos vectoriales horizontales en P , entonces [2]
donde hZ significa el componente horizontal de Z , a la derecha identificamos un campo vectorial vertical y un elemento de álgebra de Lie que lo genera ( campo vectorial fundamental ), y es el inverso del factor de normalización usado por convención en la fórmula para la derivada exterior .
Se dice que una conexión es plana si su curvatura desaparece: Ω = 0. De manera equivalente, una conexión es plana si el grupo de estructuras se puede reducir al mismo grupo subyacente pero con la topología discreta.
Si E → B es un paquete de vectores, entonces también se puede pensar en ω como una matriz de 1 formas y la fórmula anterior se convierte en la ecuación estructural de E. Cartan:
¿Dónde está el producto cuña ? Más precisamente, si y denota componentes de ω y Ω correspondientemente (por lo que cada uno es una forma 1 habitual y cada uno es una forma 2 habitual), entonces
For example, for the tangent bundle of a Riemannian manifold, the structure group is O(n) and Ω is a 2-form with values in the Lie algebra of O(n), i.e. the antisymmetric matrices. In this case the form Ω is an alternative description of the curvature tensor, i.e.
using the standard notation for the Riemannian curvature tensor.
If is the canonical vector-valued 1-form on the frame bundle, the torsion of the connection form is the vector-valued 2-form defined by the structure equation
where as above D denotes the exterior covariant derivative.
The first Bianchi identity takes the form
The second Bianchi identity takes the form
and is valid more generally for any connection in a principal bundle.
The Bianchi identities can be written in tensor notation as:
The contracted Bianchi identities are used to derive the Einstein tensor in the Einstein field equations, the bulk of general theory of relativity.[clarification needed]