Identidad de Picone

En el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias , la identidad de Picone , llamada así por Mauro Picone , ^[1] es un resultado clásico sobre ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden. Desde su inicio en 1910 se ha utilizado con enorme éxito en asociación con una prueba casi inmediata del teorema de comparación de Sturm , un teorema cuya prueba ocupó muchas páginas en las memorias originales de Sturm de 1836. También es útil para estudiar la oscilación de tales ecuaciones y se ha generalizado a otros tipos de ecuaciones diferenciales y ecuaciones en diferencias .

La identidad de Picone se utiliza para demostrar el teorema de comparación de Sturm-Picone .

Identidad de Picone

Supóngase que u y v son soluciones de dos ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden en forma autoadjunta.

${\displaystyle (p_{1}(x)u')'+q_{1}(x)u=0}$

y

${\displaystyle (p_{2}(x)v')'+q_{2}(x)v=0.}$

Entonces, para todo x con v ( x ) ≠ 0, se cumple la siguiente identidad

${\displaystyle \left({\frac {u}{v}}(p_{1}u'v-p_{2}uv')\right)'=\left(q_{2}-q_{1}\right)u^{2}+\left(p_{1}-p_{2}\right)u'^{2}+p_{2}\left(u'-v'{\frac {u}{v}}\right)^{2}.}$

Prueba

${\displaystyle \left({\frac {u}{v}}(p_{1}u'v-p_{2}uv')\right)'=\left(up_{1}u'-p_{2}v'u^{2}{\frac {1}{v}}\right)'=u'p_{1}u'+u(p_{1}u')'-(p_{2}v')'u^{2}{\frac {1}{v}}-p_{2}v'2uu'{\frac {1}{v}}+p_{2}v'u^{2}{\frac {v'}{v^{2}}}=}$

${\displaystyle =p_{1}u'^{2}-2p_{2}{\frac {uu'v'}{v}}+p_{2}{\frac {u^{2}v'^{2}}{v^{2}}}+u(p_{1}u')'-(p_{2}v')'{\frac {u^{2}}{v}}=}$

${\displaystyle =p_{1}u'^{2}-p_{2}u'^{2}+p_{2}u'^{2}-2p_{2}u'{\frac {uv'}{v}}+p_{2}\left({\frac {uv'}{v}}\right)^{2}-u(q_{1}u)+(q_{2}v){\frac {u^{2}}{v}}=\left(p_{1}-p_{2}\right)u'^{2}+p_{2}\left(u'-v'{\frac {u}{v}}\right)^{2}+\left(q_{2}-q_{1}\right)u^{2}}$

Notas

• Picone, Mauro (1910). "Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione diferenziale lineare del secondo ordine". Ana. Norma de la escuela. Sorber. Pisa . 11 : 1–141.
• Swanson, Charles A. (1975). "La identidad de Picone". Rendiconti di Matematica . 8 (2): 373–397.

Referencias

1. Pico 1910