Identidad de Jacobi

Propiedad de algunas operaciones binarias

En matemáticas , la identidad de Jacobi es una propiedad de una operación binaria que describe cómo el orden de evaluación, la colocación de paréntesis en un producto múltiple, afecta el resultado de la operación. Por el contrario, para las operaciones con la propiedad asociativa , cualquier orden de evaluación da el mismo resultado (los paréntesis en un producto múltiple no son necesarios). La identidad recibe su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi . Derivó la identidad de Jacobi para los corchetes de Poisson en su artículo de 1862 sobre ecuaciones diferenciales. ^{[1] [2]}

Tanto el producto vectorial como la operación de corchetes de Lie satisfacen la identidad de Jacobi. En mecánica analítica , la identidad de Jacobi se satisface mediante los corchetes de Poisson . En mecánica cuántica , se satisface mediante conmutadores de operadores en un espacio de Hilbert y, de manera equivalente, en la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica mediante el corchete de Moyal . ${\displaystyle a\times b}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Definición

Sean y dos operaciones binarias , y sea el elemento neutro para . ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle +}$La identidad de Jacobi es

${\displaystyle x\times (y\times z)\ +\ y\times (z\times x)\ +\ z\times (x\times y)\ =\ 0.}$

Observe el patrón en las variables del lado izquierdo de esta identidad. En cada expresión posterior de la forma , las variables , y se permutan de acuerdo con el ciclo . Alternativamente, podemos observar que las ternas ordenadas , y , son las permutaciones pares de la terna ordenada . ${\displaystyle a\times (b\times c)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x\mapsto y\mapsto z\mapsto x}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (y,z,x)}$ ${\displaystyle (z,x,y)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

Forma del soporte del conmutador

El ejemplo informativo más simple de un álgebra de Lie se construye a partir del anillo (asociativo) de matrices, que pueden considerarse como movimientos infinitesimales de un espacio vectorial n -dimensional. La operación × es el conmutador , que mide la falla de conmutatividad en la multiplicación de matrices. En lugar de , se utiliza la notación de corchetes de Lie: ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle X\times Y}$

${\displaystyle [X,Y]=XY-YX.}$

En esa notación, la identidad de Jacobi es:

${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]\ =\ 0}$

Esto se puede comprobar fácilmente mediante cálculo.

De manera más general, si A es un álgebra asociativa y V es un subespacio de A que está cerrado bajo la operación de corchete: pertenece a V para todo , la identidad de Jacobi continúa siendo válida para V . ^[3] Por lo tanto, si una operación binaria satisface la identidad de Jacobi, se puede decir que se comporta como si estuviera dada por en algún álgebra asociativa incluso si en realidad no está definida de esa manera. ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle X,Y\in V}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle XY-YX}$

Utilizando la propiedad de antisimetría , la identidad de Jacobi puede reescribirse como una modificación de la propiedad asociativa : ${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$

${\displaystyle [[X,Y],Z]=[X,[Y,Z]]-[Y,[X,Z]]~.}$

Si es la acción del movimiento infinitesimal X sobre Z , esto se puede expresar como: ${\displaystyle [X,Z]}$

La acción de Y seguida de X (operador ), menos la acción de X seguida de Y (operador ), es igual a la acción de , (operador ). ${\displaystyle [X,[Y,\cdot \ ]]}$ ${\displaystyle ([Y,[X,\cdot \ ]]}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle [[X,Y],\cdot \ ]}$

También existe una gran cantidad de identidades de Jacobi graduadas que involucran anticonmutadores , como: ${\displaystyle \{X,Y\}}$

${\displaystyle [\{X,Y\},Z]+[\{Y,Z\},X]+[\{Z,X\},Y]=0,\qquad [\{X,Y\},Z]+\{[Z,Y],X\}+\{[Z,X],Y\}=0.}$

Forma adjunta

Los ejemplos más comunes de la identidad de Jacobi provienen de la multiplicación por paréntesis en las álgebras de Lie y los anillos de Lie . La identidad de Jacobi se escribe como: ${\displaystyle [x,y]}$

${\displaystyle [x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0.}$

Como la multiplicación entre paréntesis es antisimétrica , la identidad de Jacobi admite dos reformulaciones equivalentes. Al definir el operador adjunto , la identidad se convierte en: ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:y\mapsto [x,y]}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}[y,z]=[\operatorname {ad} _{x}y,z]+[y,\operatorname {ad} _{x}z].}$

Así, la identidad de Jacobi para las álgebras de Lie establece que la acción de cualquier elemento sobre el álgebra es una derivación . Esa forma de la identidad de Jacobi también se utiliza para definir la noción de álgebra de Leibniz .

Otro reordenamiento muestra que la identidad de Jacobi es equivalente a la siguiente identidad entre los operadores de la representación adjunta:

${\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}].}$

Allí, el corchete del lado izquierdo es la operación del álgebra original, el corchete del lado derecho es el conmutador de la composición de operadores y la identidad establece que el mapa que envía cada elemento a su acción adjunta es un homomorfismo del álgebra de Lie . ${\displaystyle \mathrm {ad} }$

Identidades relacionadas

• La identidad de Hall-Witt es la identidad análoga para la operación del conmutador en un grupo .

• La siguiente identidad se desprende de la anticomutatividad y de la identidad de Jacobi y se cumple en cualquier álgebra de Lie: ^[4]

${\displaystyle [x,[y,[z,w]]]+[y,[x,[w,z]]]+[z,[w,[x,y]]]+[w,[z,[y,x]]]=0.}$

• La identidad de Jacobi es equivalente a la regla del producto , donde el corchete de Lie actúa como producto y como derivada: . Si son campos vectoriales, entonces es literalmente un operador de derivada que actúa sobre , es decir, la derivada de Lie . ${\displaystyle [X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$

Véase también

• Constantes de estructura
• Identidad de Super Jacobi
• Lema de los tres subgrupos (identidad de Hall-Witt)

Referencias

1. CGJ Jacobi (1862), §26, Teorema V.
2. T. Hawkins (1991)
3. Hall 2015 Ejemplo 3.3
4. Alekseev, Ilya; Ivanov, Sergei O. (18 de abril de 2016). "Identidades superiores de Jacobi". arXiv : 1604.05281 [math.GR].

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Jacobi, CGJ (1862). "Nova Methodus, aequationes diferenciales parciales primi ordinis inter numerum variabilium quemcunque propositas integrandi". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 60 : 1-181.
• Hawkins, Thomas (1991). "Jacobi y el nacimiento de la teoría de grupos de Lie". Arch. Hist. Exact Sci . 42 (3): 187-278. doi :10.1007/BF00375135.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Identidades de Jacobi". MathWorld .