En topología algebraica , una rama de las matemáticas , una esfera de homotopía es una variedad n que es homotópicamente equivalente a la esfera n . Por lo tanto, tiene los mismos grupos de homotopía y los mismos grupos de homología que la esfera n , y por lo tanto , cada esfera de homotopía es necesariamente una esfera de homología . [1]
La conjetura de Poincaré generalizada topológica es que cualquier esfera de homotopía n -dimensional es homeomorfa a la n -esfera; fue resuelta por Stephen Smale en dimensiones cinco y superiores, por Michael Freedman en dimensión 4, y para dimensión 3 (la conjetura de Poincaré original ) por Grigori Perelman en 2005.
La resolución de la conjetura de Poincaré suave en dimensiones 5 y mayores implica que las esferas de homotopía en esas dimensiones son precisamente esferas exóticas . No está claro si existen esferas de homotopía suaves no triviales en dimensión 4.
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