Crecimiento hiperbólico

Función de crecimiento que exhibe una singularidad en un tiempo finito.

La función recíproca , que exhibe un crecimiento hiperbólico.

Cuando una cantidad crece hacia una singularidad bajo una variación finita (una " singularidad de tiempo finito ") se dice que sufre un crecimiento hiperbólico . ^[1] Más precisamente, la función recíproca tiene una hipérbola como gráfica y tiene una singularidad en 0, lo que significa que el límite es infinito: se dice que cualquier gráfica similar exhibe un crecimiento hiperbólico. ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle x\to 0}$

Descripción

Si la salida de una función es inversamente proporcional a su entrada, o inversamente proporcional a la diferencia con respecto a un valor dado , la función exhibirá un crecimiento hiperbólico, con una singularidad en . ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

En el mundo real, el crecimiento hiperbólico se crea mediante ciertos mecanismos de retroalimentación positiva no lineal . ^[2]

Comparaciones con otros crecimientos

Ecuaciones de crecimiento

Al igual que el crecimiento exponencial y el crecimiento logístico , el crecimiento hiperbólico es altamente no lineal , pero difiere en aspectos importantes. Estas funciones pueden confundirse, ya que el crecimiento exponencial, el crecimiento hiperbólico y la primera mitad del crecimiento logístico son funciones convexas ; sin embargo, su comportamiento asintótico (comportamiento a medida que la entrada aumenta) difiere dramáticamente:

• el crecimiento logístico está restringido (tiene un límite finito, incluso cuando el tiempo llega al infinito),
• el crecimiento exponencial crece hasta el infinito a medida que el tiempo llega al infinito (pero siempre es finito durante un tiempo finito),
• El crecimiento hiperbólico tiene una singularidad en un tiempo finito (crece hasta el infinito en un tiempo finito).

Aplicaciones

Población

Ciertos modelos matemáticos sugieren que hasta principios de la década de 1970 la población mundial experimentó un crecimiento hiperbólico (ver, por ejemplo, Introducción a la macrodinámica social de Andrey Korotayev et al. ). También se demostró que hasta la década de 1970 el crecimiento hiperbólico de la población mundial iba acompañado de un crecimiento hiperbólico cuadrático del PIB mundial , y se desarrollaron una serie de modelos matemáticos que describen tanto este fenómeno como la retirada del Sistema Mundial del régimen de explosión. observado en las últimas décadas. Andrey Korotayev y sus colegas han correlacionado el crecimiento hiperbólico de la población mundial y el crecimiento hiperbólico cuadrático del PIB mundial observado hasta la década de 1970 con una retroalimentación positiva no lineal de segundo orden entre el crecimiento demográfico y el desarrollo tecnológico, descrita por una cadena. de causalidad: el crecimiento tecnológico conduce a una mayor capacidad de carga de tierra para las personas, lo que conduce a más personas, lo que conduce a más inventores, lo que a su vez conduce a un crecimiento tecnológico aún mayor, y así sucesivamente. ^[3] También se ha demostrado que los modelos hiperbólicos de este tipo pueden usarse para describir de manera bastante precisa el crecimiento global de la complejidad planetaria de la Tierra desde el año 4 mil millones a.C. hasta el presente. ^[4] Otros modelos sugieren crecimiento exponencial , crecimiento logístico u otras funciones.

Teoría de colas

Otro ejemplo de crecimiento hiperbólico se puede encontrar en la teoría de las colas : el tiempo de espera promedio de los clientes que llegan aleatoriamente crece hiperbólicamente en función de la relación de carga promedio del servidor. La singularidad en este caso ocurre cuando la cantidad promedio de trabajo que llega al servidor es igual a la capacidad de procesamiento del servidor. Si las necesidades de procesamiento exceden la capacidad del servidor, entonces no hay un tiempo de espera promedio bien definido, ya que la cola puede crecer sin límites. Una implicación práctica de este ejemplo particular es que para sistemas de colas altamente cargados, el tiempo promedio de espera puede ser extremadamente sensible a la capacidad de procesamiento.

La cinética de enzimas

Otro ejemplo práctico de crecimiento hiperbólico se puede encontrar en la cinética enzimática . Cuando se representa gráficamente la velocidad de reacción (denominada velocidad) entre una enzima y un sustrato frente a diversas concentraciones del sustrato, se obtiene un gráfico hiperbólico para muchos sistemas más simples. Cuando esto sucede, se dice que la enzima sigue la cinética de Michaelis-Menten .

ejemplo matemático

La función

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{t_{c}-t}}}$

exhibe un crecimiento hiperbólico con una singularidad en el tiempo : en el límite as , la función llega al infinito. ${\displaystyle t_{c}}$ ${\displaystyle t\to t_{c}}$

De manera más general, la función

${\displaystyle x(t)={\frac {K}{t_{c}-t}}}$

exhibe un crecimiento hiperbólico, donde es un factor de escala . ${\displaystyle K}$

Tenga en cuenta que esta función algebraica puede considerarse como una solución analítica para el diferencial de la función: ^[5]

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {K}{(t_{c}-t)^{2}}}={\frac {x^{2}}{K}}}$

Esto significa que con crecimiento hiperbólico la tasa de crecimiento absoluta de la variable x en el momento t es proporcional al cuadrado del valor de x en el momento t .

Respectivamente, la función cuadrática-hiperbólica tiene el siguiente aspecto:

${\displaystyle x(t)={\frac {K}{(t_{c}-t)^{2}}}.}$

Ver también

• Crecimiento exponencial
• Crecimiento logístico
• Singularidad matemática

Notas

1. Véase, por ejemplo, Korotayev A., Malkov A., Khaltourina D. Introducción a la macrodinámica social: macromodelos compactos del crecimiento del sistema mundial. Moscú: Editores URSS, 2006. P. 19-20.
2. Véase, por ejemplo, Alexander V. Markov y Andrey V. Korotayev (2007). "La biodiversidad marina fanerozoica sigue una tendencia hiperbólica". Paleomundo. Volumen 16. Número 4. Páginas 311-318.
3. Véase, por ejemplo, Korotayev A., Malkov A., Khaltourina D. Introducción a la macrodinámica social: macromodelos compactos del crecimiento del sistema mundial. Moscú: Editores URSS, 2006; Korotayev AV Un macromodelo compacto de la evolución del sistema mundial // Journal of World-Systems Research 11/1 (2005): 79–93. Archivado el 25 de septiembre de 2009 en Wayback Machine ; para un análisis matemático detallado de este tema, consulte Un modelo matemático compacto del crecimiento económico y demográfico del sistema mundial, 1 CE - 1973 CE. "Revista Internacional de Modelos y Métodos Matemáticos en Ciencias Aplicadas". 2016. vol. 10, págs. 200-209.
4. La singularidad del siglo XXI y sus grandes implicaciones históricas: un nuevo análisis. Revista de Gran Historia 2/3 (2018): 71 - 118; ver también La singularidad del siglo XXI y los futuros globales. Una perspectiva de la gran historia (Springer, 2020).
5. Véase, por ejemplo, Korotayev A., Malkov A., Khaltourina D. Introducción a la macrodinámica social: macromodelos compactos del crecimiento del sistema mundial. Moscú: Editores URSS, 2006. P. 118-123.

Referencias

• Alexander V. Markov y Andrey V. Korotayev (2007). "La biodiversidad marina fanerozoica sigue una tendencia hiperbólica". Paleomundo . Volumen 16. Número 4. Páginas 311-318].
• Kremer, Michael . 1993. "Crecimiento demográfico y cambio tecnológico: desde un millón antes de Cristo hasta 1990", The Quarterly Journal of Economics 108(3): 681-716.
• Korotayev A. , Malkov A., Khaltourina D. 2006. Introducción a la macrodinámica social: macromodelos compactos del crecimiento del sistema mundial. Moscú: URSS. ISBN  5-484-00414-4 .
• Rein Taagepera (1979) Personas, habilidades y recursos: un modelo de interacción para el crecimiento de la población mundial. Previsión tecnológica y cambio social 13, 13-30.