En geometría , la relación de ortogonalidad hiperbólica entre dos rectas separadas por las asíntotas de una hipérbola es un concepto utilizado en la relatividad especial para definir eventos simultáneos. Dos eventos serán simultáneos cuando estén en una línea hiperbólicamente ortogonal a una línea de tiempo particular. Esta dependencia de una determinada línea de tiempo está determinada por la velocidad y es la base de la relatividad de la simultaneidad .
Dos rectas son ortogonales hiperbólicas cuando son reflejos entre sí sobre la asíntota de una hipérbola dada . En el avión se utilizan con frecuencia dos hipérbolas particulares:
Cuando se refleja en el eje x, una línea y = mx se convierte en y = − mx .
En este caso las rectas son ortogonales hiperbólicas si sus pendientes son inversas aditivas .La relación de ortogonalidad hiperbólica en realidad se aplica a clases de rectas paralelas en el plano, donde cualquier recta particular puede representar la clase. Por lo tanto, para una hipérbola y una asíntota dadas A , un par de rectas ( a , b ) son ortogonales hiperbólicas si hay un par ( c , d ) tal que yc es el reflejo de d en A.
Similar a la perpendicularidad del radio de un círculo a la tangente , un radio a una hipérbola es hiperbólico ortogonal a una tangente a la hipérbola. [1] [2]
Una forma bilineal se utiliza para describir la ortogonalidad en geometría analítica, con dos elementos ortogonales cuando su forma bilineal desaparece. En el plano de los números complejos , la forma bilineal es , mientras que en el plano de los números hiperbólicos la forma bilineal es
La forma bilineal se puede calcular como la parte real del producto complejo de un número por el conjugado del otro. Entonces
La noción de ortogonalidad hiperbólica surgió en la geometría analítica al considerar los diámetros conjugados de elipses e hipérbolas. [4] Si g y g ′ representan las pendientes de los diámetros conjugados, entonces en el caso de una elipse y en el caso de una hipérbola. Cuando a = b la elipse es un círculo y los diámetros conjugados son perpendiculares mientras que la hipérbola es rectangular y los diámetros conjugados son hiperbólico-ortogonales.
En la terminología de la geometría proyectiva , la operación de tomar la recta ortogonal hiperbólica es una involución . Supongamos que la pendiente de una recta vertical se denota por ∞ de modo que todas las rectas tienen pendiente en la recta real proyectivamente extendida . Entonces, cualquiera que sea la hipérbola (A) o (B) que se use, la operación es un ejemplo de involución hiperbólica donde la asíntota es invariante. Las líneas hiperbólicamente ortogonales se encuentran en diferentes sectores del plano, determinados por las asíntotas de la hipérbola, por lo que la relación de ortogonalidad hiperbólica es una relación heterogénea en conjuntos de líneas en el plano.
Desde la fundación de Hermann Minkowski para el estudio del espacio-tiempo en 1908, el concepto de que los puntos en un plano espacio-temporal son hiperbólicos-ortogonales a una línea de tiempo (tangente a una línea mundial ) se ha utilizado para definir la simultaneidad de eventos en relación con la línea de tiempo, o relatividad de simultaneidad . En el desarrollo de Minkowski se utiliza la hipérbola del tipo (B) anterior. [5] Dos vectores ( x 1 , y 1 , z 1 , t 1 ) y ( x 2 , y 2 , z 2 , t 2 ) son normales (es decir, ortogonales hiperbólicos) cuando
Cuando c = 1 y y s y z s son cero, x 1 ≠ 0, t 2 ≠ 0, entonces .
Dada una hipérbola con asíntota A , su reflexión en A produce la hipérbola conjugada . Cualquier diámetro de la hipérbola original se refleja en un diámetro conjugado . Las direcciones indicadas por los diámetros conjugados se toman para los ejes espacial y temporal en relatividad. Como escribió ET Whittaker en 1910, "[la] hipérbola permanece inalterada cuando cualquier par de diámetros conjugados se toma como nuevos ejes, y se toma una nueva unidad de longitud proporcional a la longitud de cualquiera de estos diámetros". [6] Sobre este principio de relatividad , luego escribió la transformación de Lorentz en la forma moderna usando rapidez .
Edwin Bidwell Wilson y Gilbert N. Lewis desarrollaron el concepto dentro de la geometría sintética en 1912. Señalan que "en nuestro plano, ningún par de líneas perpendiculares [hiperbólicas-ortogonales] es más adecuado para servir como ejes de coordenadas que cualquier otro par" [1]
