anillo hereditario

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de módulos , un anillo R se llama hereditario si todos los submódulos de los módulos proyectivos sobre R son nuevamente proyectivos. Si esto se requiere sólo para submódulos generados de forma finita , se denomina semihereditario .

Para un anillo no conmutativo R , los términos hereditario izquierdo y semihereditario izquierdo y sus versiones derechas se utilizan para distinguir la propiedad en un solo lado del anillo. Para ser hereditario (semi) izquierdo, todos los submódulos (generados finitamente) de los módulos R proyectivos izquierdos deben ser proyectivos y, de manera similar, para ser hereditarios (semi) derechos, todos los submódulos (generados finitamente) de los módulos R proyectivos derechos deben ser proyectivos. . Es posible que un anillo sea (semi)hereditario por la izquierda pero no (semi)hereditario por la derecha y viceversa.

Definiciones equivalentes

• El anillo R queda (semi)hereditario si y sólo si todos los ideales izquierdos ( finalmente generados ) de R son módulos proyectivos. ^{[1] [2]}
• El anillo R se deja hereditario si y sólo si todos los módulos izquierdos tienen resoluciones proyectivas de longitud como máximo 1. Esto equivale a decir que la dimensión global izquierda es como máximo 1. De ahí que los funtores derivados habituales como y sean triviales para . ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}}$ ${\displaystyle i>1}$

Ejemplos

• Los anillos semisimples son hereditarios de izquierda y derecha mediante definiciones equivalentes: todos los ideales de izquierda y derecha son sumandos de R y, por tanto, son proyectivos. De manera similar, en un anillo regular de von Neumann cada ideal izquierdo y derecho generado finitamente es una suma directa de R , por lo que los anillos regulares de von Neumann son semihereditarios izquierdo y derecho.
• Para cualquier elemento x distinto de cero en un dominio R , a través del mapa . Por tanto, en cualquier ámbito, un ideal de derecho principal es libre y, por tanto, proyectivo. Esto refleja el hecho de que los dominios son anillos Rickart correctos . De ello se deduce que si R es un dominio de Bézout derecho , de modo que los ideales correctos finitamente generados son principales, entonces R tiene todos los ideales correctos finitamente generados proyectivos y, por tanto, R es derecho semihereditario. Finalmente, si se supone que R es un dominio ideal de derecho principal , entonces todos los ideales de derecho son proyectivos y R es hereditario de derecho. ${\displaystyle R\cong xR}$ ${\displaystyle r\mapsto xr}$
• Un dominio integral hereditario conmutativo se llama dominio de Dedekind . Un dominio integral semihereditario conmutativo se denomina dominio de Prüfer .
• Un ejemplo importante de un anillo hereditario (izquierdo) es el álgebra de trayectoria de un carcaj . Esto es consecuencia de la existencia de la resolución estándar (que es de longitud 1) para módulos sobre un álgebra de ruta.
• El anillo de matriz triangular es hereditario por la derecha y semihereditario por la izquierda, pero no hereditario por la izquierda. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}}$
• Si S es un anillo regular de von Neumann con un I ideal que no es un sumando directo, entonces el anillo de matriz triangular es semihereditario por la izquierda pero no por la derecha. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}S/I&S/I\\0&S\end{bmatrix}}}$

Propiedades

• Para un anillo hereditario izquierdo R , cada submódulo de un módulo R izquierdo libre es isomorfo a una suma directa de ideales izquierdos de R y, por tanto, es proyectivo. ^[2]

Referencias

1. Lam 1999, pag. 42
2. Reiner 2003, págs. 27-29

• Crawley-Boevey, William , Notas sobre la representación de Quiver (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 2 de mayo de 2003.
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de Graduado en Matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, SEÑOR  1653294, Zbl  0911.16001
• Osborne, M. Scott (2000), Álgebra homológica básica , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 196, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98934-X, Zbl  0948.18001
• Reiner, I. (2003), Órdenes máximas , Monografías de la London Mathematical Society. Nueva serie, vol. 28, prensa de la Universidad de Oxford , ISBN 0-19-852673-3, Zbl  1024.16008
• Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 38, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-43500-5, Zbl  0797.18001