Un heptominó (o 7-ómino o septominó ) es un poliómino de orden 7, es decir, un polígono en el plano formado por 7 cuadrados de igual tamaño conectados borde con borde. [1] El nombre de este tipo de figura se forma con el prefijo hept(a)-. Cuando las rotaciones y las reflexiones no se consideran formas distintas, hay 108 heptominós libres diferentes . Cuando las reflexiones se consideran distintas, hay 196 heptominós unilaterales . Cuando las rotaciones también se consideran distintas, hay 760 heptominós fijos . [2] [3]
Simetría
La figura muestra todos los heptominós libres posibles, coloreados según sus grupos de simetría :
Los 84 heptominós (coloreados en gris) no tienen simetría . Su grupo de simetría consiste únicamente en la función identidad .
9 heptominós (coloreados en rojo) tienen un eje de simetría de reflexión alineado con las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene dos elementos, la identidad y la reflexión en una línea paralela a los lados de los cuadrados.
Los 7 heptominós (de color verde) tienen un eje de simetría de reflexión a 45° respecto de las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene dos elementos: la identidad y una reflexión diagonal.
4 heptominós (de color azul) tienen simetría puntual, también conocida como simetría rotacional de orden 2. Su grupo de simetría tiene dos elementos, la identidad y la rotación de 180°.
3 heptominós (coloreados de violeta) tienen dos ejes de simetría de reflexión, ambos alineados con las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene cuatro elementos, la identidad, dos reflexiones y la rotación de 180°. Es el grupo diedro de orden 2, también conocido como el grupo de cuatro de Klein .
1 heptominó (de color naranja) tiene dos ejes de simetría de reflexión, ambos alineados con las diagonales. Su grupo de simetría también tiene cuatro elementos. Su grupo de simetría es también el grupo diedro de orden 2 con cuatro elementos.
Si las reflexiones de un heptominó se consideran distintas, como ocurre con los heptominós unilaterales, entonces la primera y la cuarta categoría anteriores duplicarían su tamaño, lo que daría como resultado 88 heptominós adicionales para un total de 196. Si las rotaciones también se consideran distintas, entonces los heptominós de la primera categoría cuentan ocho veces, los de las siguientes tres categorías cuentan cuatro veces y los de las últimas dos categorías cuentan dos veces. Esto da como resultado 84 × 8 + (9+7+4) × 4 + (3+1) × 2 = 760 heptominós fijos.
Embalaje y alicatado
De los 108 heptominós libres, 101 satisfacen el criterio de Conway y 3 más pueden formar un parche que satisface el criterio. Por lo tanto, sólo 4 heptominós no satisfacen el criterio y, de hecho, estos 4 no pueden teselar el plano. [4]
Los cuatro heptominós incapaces de teselar un plano, incluido el heptominó con un agujero
Aunque un conjunto completo de los 108 heptominós libres tiene un total de 756 cuadrados, no es posible embaldosar un rectángulo con ese conjunto. La prueba de esto es trivial, ya que hay un heptominó que tiene un agujero. [5] También es imposible empaquetarlos en un rectángulo de 757 cuadrados con un agujero de un cuadrado porque 757 es un número primo.
Sin embargo, el conjunto de 107 heptominós libres simplemente conectados (es decir, los que no tienen agujero) puede cubrir un rectángulo de 7 por 107 (749 cuadrados). [6] Además, el conjunto completo de heptominós libres puede cubrir tres rectángulos de 11 por 23 (253 cuadrados), cada uno con un agujero de un cuadrado en el centro; el conjunto completo también puede cubrir doce cuadrados de 8 por 8 (64 cuadrados) con un agujero de un cuadrado en el "centro". [7]
^ Weisstein, Eric W. "Heptomino". De MathWorld – A Wolfram Web Resource . Consultado el 22 de julio de 2008 .
^ Redelmeier, D. Hugh (1981). "Contar poliominós: otro ataque más". Matemáticas discretas . 36 (2): 191–203. doi : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
^ Rhoads, Glenn C. (2005). "Teselación plana mediante poliominós, polihexágonos y polidiamantes". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 174 (2): 329–353. doi :10.1016/j.cam.2004.05.002.
^ Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Mosaicos y patrones . Nueva York: WH Freeman and Company. ISBN0-7167-1193-1.
^ "Poliominós: ¡Aún más heptominós!"
^ Imagen, "Una increíble solución de heptominó por Patrick Hamlyn", de Material añadido entre febrero y agosto de 2001 en MathPuzzzle.com
