En geometría , un triacontágono o 30-ágono es un polígono de treinta lados . La suma de los ángulos interiores de cualquier triacontágono es 5040 grados.
El triacontágono regular es un polígono construible , mediante la bisección de una arista de un pentadecágono regular , y también puede construirse como un pentadecágono truncado , t{15}. Un triacontágono truncado , t{30}, es un hexacontágono , {60}.
Un ángulo interior de un triacontágono regular mide 168 grados, lo que significa que un ángulo exterior sería de 12°. El triacontágono es el polígono regular más grande cuyo ángulo interior es la suma de los ángulos interiores de polígonos más pequeños : 168° es la suma de los ángulos interiores del triángulo equilátero (60°) y el pentágono regular (108°).
El área de un triacontágono regular es (con t = longitud del borde ) [1]
El radio interno de un triacontágono regular es
El circunradio de un triacontágono regular es
Como 30 = 2 × 3 × 5, un triacontágono regular se puede construir utilizando un compás y una regla . [2]
El triacontágono regular tiene simetría diedral Dih 30 , orden 60, representada por 30 líneas de reflexión. Dih 30 tiene 7 subgrupos diedros: Dih 15 , (Dih 10 , Dih 5 ), (Dih 6 , Dih 3 ) y (Dih 2 , Dih 1 ). También tiene ocho simetrías cíclicas más como subgrupos: (Z 30 , Z 15 ), (Z 10 , Z 5 ), (Z 6 , Z 3 ) y (Z 2 , Z 1 ), donde Z n representa una simetría rotacional de π/ n radianes.
John Conway etiqueta estas simetrías inferiores con una letra y el orden de la simetría sigue a la letra. [3] Él da d (diagonal) con líneas especulares a través de vértices, p con líneas especulares a través de aristas (perpendicular), i con líneas especulares a través de vértices y aristas, y g para simetría rotacional. a1 etiqueta sin simetría.
Estas simetrías inferiores permiten grados de libertad en la definición de triacontágonos irregulares. Solo el subgrupo g30 no tiene grados de libertad, pero puede verse como aristas dirigidas .
Coxeter afirma que cada zonógono (un 2 m -gono cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) puede diseccionarse en m ( m -1)/2 paralelogramos. [4] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con un número uniforme de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el triacontágono regular , m = 15, se puede dividir en 105: 7 conjuntos de 15 rombos. Esta descomposición se basa en una proyección de polígono de Petrie de un cubo de 15 .
Un triacontagrama es un polígono en forma de estrella de 30 lados (aunque la palabra es extremadamente rara). Existen 3 formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli {30/7}, {30/11} y {30/13}, y 11 figuras estelares compuestas con la misma configuración de vértices .
También existen triacontagramas isogonales construidos como truncamientos más profundos del pentadecágono regular {15} y del pentadecagrama {15/7}, y pentadecagramas invertidos {15/11} y {15/13}. Otros truncamientos forman recubrimientos dobles: t{15/14}={30/14}=2{15/7}, t{15/8}={30/8}=2{15/4}, t{15/4}={30/4}=2{15/4} y t{15/2}={30/2}=2{15}. [5]
El triacontágono regular es el polígono de Petrie para tres politopos de ocho dimensiones con simetría E 8 , mostrados en proyecciones ortogonales en el plano de Coxeter E 8 . También es el polígono de Petrie para dos politopos de cuatro dimensiones, mostrados en el plano de Coxeter H 4 .
El triacontagrama regular {30/7} es también el polígono de Petrie para los grandes triacontagramas estelados de 120 celdas y de 600 celdas .
