Forma armónica de Maass

Función matemática

En matemáticas , una forma débil de Maass es una función suave en el semiplano superior , que se transforma como una forma modular bajo la acción del grupo modular , es una función propia del operador hiperbólico de Laplace correspondiente y tiene como máximo un crecimiento exponencial lineal en las cúspides . Si el valor propio de bajo el laplaciano es cero, entonces se denomina forma débil armónica de Maass o, brevemente, forma armónica de Maass . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Una forma de Maass débil que en realidad tiene un crecimiento moderado en las cúspides es una forma de onda de Maass clásica .

Las expansiones de Fourier de las formas armónicas de Maass a menudo codifican funciones generadoras combinatorias, aritméticas o geométricas interesantes. Las elevaciones theta regularizadas de las formas armónicas de Maass se pueden utilizar para construir funciones de Arakelov Green para divisores especiales en variedades ortogonales de Shimura .

Definición

Una función suave de valor complejo en el semiplano superior H = { z ∈ C :  Im ( z ) > 0}  se denomina forma débil de Maass de peso integral k (para el grupo SL(2, Z ) ) si satisface las tres condiciones siguientes: ${\displaystyle f}$  

(1) Para cada matriz la función satisface la ley de transformación modular ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z).}$

(2) es una función propia del laplaciano hiperbólico de peso k ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),}$

dónde ${\displaystyle z=x+iy.}$

(3) tiene como máximo un crecimiento exponencial lineal en la cúspide, es decir, existe una constante C > 0 tal que f  ( z ) = O ( e ^Cy ) como ${\displaystyle f}$  ${\displaystyle y\to \infty .}$

Si es una forma débil de Maass con valor propio 0 bajo , es decir, si , entonces se denomina forma débil de Maass armónica , o brevemente, forma armónica de Maass . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Delta _{k}}$ ${\displaystyle \Delta _{k}f=0}$ ${\displaystyle f}$

Propiedades básicas

Cada forma armónica de peso de Maass tiene una expansión de Fourier de la forma ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(z)=\sum \nolimits _{n\geq n^{+}}c^{+}(n)q^{n}+\sum \nolimits _{n\leq n^{-}}c^{-}(n)\Gamma (1-k,-4\pi ny)q^{n},}$

donde q = e ^2πiz , y son números enteros que dependen de Además,  ${\displaystyle n^{+},n^{-}}$ ${\displaystyle f.}$

${\displaystyle \Gamma (s,y)=\int _{y}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}dt}$

denota la función gamma incompleta (que debe interpretarse adecuadamente cuando n = 0  ). El primer sumando se denomina parte holomorfa y el segundo sumando se denomina parte no holomorfa de  ${\displaystyle f.}$

Existe un operador diferencial antilineal complejo definido por ${\displaystyle \xi _{k}}$

${\displaystyle \xi _{k}(f)(z)=2iy^{k}{\overline {{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}f(z)}}.}$

Dado que , la imagen de una forma armónica de Maass es débilmente holomorfa. Por lo tanto, define una función desde el espacio vectorial de formas armónicas de Maass de peso hasta el espacio de formas modulares débilmente holomorfas de peso Bruinier y Funke ^[1] demostraron (para pesos arbitrarios, sistemas multiplicadores y subgrupos de congruencia) que esta función es sobreyectiva. En consecuencia, existe una secuencia exacta ${\displaystyle \Delta _{k}=-\xi _{2-k}\xi _{k}}$ ${\displaystyle \xi _{k}}$ ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M_{2-k}^{!}}$ ${\displaystyle 2-k.}$

${\displaystyle 0\to M_{k}^{!}\to H_{k}\to M_{2-k}^{!}\to 0,}$

Proporciona un vínculo con la teoría algebraica de formas modulares. Un subespacio importante de es el espacio de aquellas formas armónicas de Maass que se asignan a formas de cúspide bajo . ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle H_{k}^{+}}$ ${\displaystyle \xi _{k}}$

Si las formas armónicas de Maass se interpretan como secciones armónicas del fibrado lineal de formas modulares de peso equipadas con la métrica de Petersson sobre la curva modular, entonces este operador diferencial puede verse como una composición del operador de estrella de Hodge y el diferencial antiholomórfico. La noción de formas armónicas de Maass se generaliza naturalmente a subgrupos de congruencia arbitrarios y sistemas de multiplicadores (con valores escalares y vectoriales). ${\displaystyle k}$

Ejemplos

• Toda forma modular débilmente holomorfa es una forma armónica de Maass.
• La serie de Eisenstein no holomorfa

${\displaystyle E_{2}(z)=1-{\frac {3}{\pi y}}-24\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{1}(n)q^{n}}$

de peso 2 es una forma armónica de Maass de peso 2.

• La serie de Eisenstein de Zagier E _3/2 de peso 3/2 ^[2] es una forma armónica de Maass de peso 3/2 (para el grupo Γ ₀ (4) ). Su imagen es un múltiplo distinto de cero de la función theta de Jacobi   ${\displaystyle \xi _{3/2}}$

${\displaystyle \theta (z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }q^{n^{2}}.}$

• La derivada de la serie de Eisenstein incoherente de peso 1 asociada a un orden cuadrático imaginario ^[3] es una forma armónica de Maass de peso 1.
• Una forma modular simulada ^[4] es la parte holomórfica de una forma armónica de Maass.
• Las series de Poincaré construidas con la función M-Whittaker son formas débiles de Maass. ^{[5] [6]} Cuando el parámetro espectral se especializa al punto armónico conducen a formas armónicas de Maass.
• La evaluación de la función zeta de Weierstrass en la integral de Eichler de la nueva forma de peso 2 correspondiente a una curva elíptica racional E se puede utilizar para asociar una forma armónica de Maass de peso 0 a E . ^[7]    
• La serie generadora simultánea de los valores de los divisores e integrales de Heegner a lo largo de los ciclos geodésicos de la función J de Klein (normalizada de modo que el término constante se anule) es una forma armónica de Maass de peso 1/2. ^[8]

Historia

La definición abstracta anterior de las formas armónicas de Maass junto con una investigación sistemática de sus propiedades básicas fue dada por primera vez por Bruinier y Funke. ^[1] Sin embargo, muchos ejemplos, como las series de Eisenstein y Poincaré, ya se conocían antes. Independientemente, Zwegers desarrolló una teoría de formas modulares simuladas que también se conecta con las formas armónicas de Maass. ^[4]

Candelori desarrolló una teoría algebraica de las formas armónicas de peso integral de Maass al estilo de Katz . ^[9]

Citas

1. Bruinier y Funke 2004, págs.
2. Zagier 1975, págs. 883–886.
3. Kudla, Rapoport y Yang 1999, págs. 347–385.
4. Zwegers 2002.
5. Fay 1977, págs. 143–203.
6. Hejhal 1983.
7. Alfes y otros 2015.
8. Duke, Imamoḡlu y Tóth 2011, págs. 947–981.
9. Candelori 2014, págs. 489–517.

Obras citadas

• Alfes, Claudia; Griffin, Michael; Ono, Ken; Rolen, Larry (2015). "Formas modulares simuladas y curvas elípticas de Weierstrass". Investigación en teoría de números . 1 (24). arXiv : 1406.0443 .
• Bruinier, Jan Hendrik; Funke, Jens (2004). "Sobre dos elevaciones theta geométricas". Duke Mathematical Journal . 125 (1): 45–90. arXiv : math/0212286 . doi :10.1215/S0012-7094-04-12513-8. ISSN  0012-7094. MR  2097357. S2CID  2078210.
• Candelori, Luca (2014). "Formas armónicas débiles de Maass: un enfoque geométrico". Annalen Matemáticas . 360 (1–2): 489–517. doi :10.1007/s00208-014-1043-5. S2CID  119474785.
• Duke, William; Imamoḡlu, Özlem; Tóth, Árpad (2011). "Integrales de ciclo de la función j y formas modulares simuladas". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 173 (2): 947–981. doi : 10.4007/annals.2011.173.2.8 .
• Fay, John (1977). "Coeficientes de Fourier del resolutivo de un grupo fucsiano". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 294 : 143–203.
• Hejhal, Dennis (1983). La fórmula de traza de Selberg para PSL(2,R) . Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 1001. Springer-Verlag.
• Kudla, Steve; Rapoport, Michael; Yang, Tonghai (1999). "Sobre la derivada de una serie de Eisenstein de peso uno". International Mathematics Research Notices . 1999 (7): 347–385. doi : 10.1155/S1073792899000185 .
• Zagier, Don (1975). "Nombres de clases y formas modulares de peso 3/2". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A (en francés). 281 : 883–886.
• Zwegers, SP (2002). Mock Theta Functions (tesis doctoral). Universidad de Utrecht. ISBN 978-903933155-2.

Lectura adicional

• Ono, Ken (2009). "Desenterrando las visiones de un maestro: formas armónicas de Maass y teoría de números". En Jerison, David; Mazur, Barry; Mrowka, Tomasz; Schmid, Wilfried; Stanley, Richard P.; Yau, Shing-Tung (eds.). Desarrollos actuales en matemáticas. Vol. 2008. International Press of Boston. págs. 347–454. ISBN. 978-157146139-1.