Matriz hamiltoniana

En matemáticas , una matriz hamiltoniana es una matriz $A de$ $2 n$ por $2 n$ tal que $JA$ es simétrica , donde $J$ es la matriz antisimétrica.

J={\begin{bmatrix}0_{n}&I_{n}\\-I_{n}&0_{n}\\\end{bmatrix}}

y $I n$ es la matriz identidad $n$ por $n$ . En otras palabras, $A$ es hamiltoniano si y solo si $($ $JA$ $)$ $T$ $=$ $JA$ donde $()$ $T$ denota la transpuesta . ^[1]

Propiedades

Supongamos que la matriz $A de$ $2 n$ por $2 n$ se escribe como la matriz de bloques

A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}

donde $a$ , $b$ , $c$ y $d$ son matrices $n$ por $n$ . Entonces, la condición de que $A$ sea hamiltoniano es equivalente a exigir que las matrices $b$ y $c$ sean simétricas, y que $a + d T = 0$ . ^[1]^[2] Otra condición equivalente es que $A$ sea de la forma $A = JS$ con $S$ simétrica. ^[2]^{: 34}

De la definición se deduce fácilmente que la transpuesta de una matriz hamiltoniana es hamiltoniana. Además, la suma (y cualquier combinación lineal ) de dos matrices hamiltonianas es de nuevo hamiltoniana, al igual que su conmutador . De ello se deduce que el espacio de todas las matrices hamiltonianas es un álgebra de Lie , denotada $sp(2 n)$ . La dimensión de $sp(2 n)$ es $2 n 2 + n$ . El grupo de Lie correspondiente es el grupo simpléctico $Sp(2 n)$ . Este grupo consta de las matrices simplécticas , aquellas matrices $A$ que satisfacen $A T JA = J$ . Por tanto, la matriz exponencial de una matriz hamiltoniana es simpléctica. Sin embargo, el logaritmo de una matriz simpléctica no es necesariamente hamiltoniano porque la función exponencial del álgebra de Lie al grupo no es sobreyectiva. ^[2]^{: 34–36}^[3]

El polinomio característico de una matriz hamiltoniana real es par . Por lo tanto, si una matriz hamiltoniana tiene $λ$ como valor propio , entonces $-λ$ , $λ *$ y $-λ *$ también son valores propios. ^[2]^{: 45} De ello se deduce que la traza de una matriz hamiltoniana es cero.

El cuadrado de una matriz hamiltoniana es anti-hamiltoniana (una matriz $A$ es anti-hamiltoniana si $(JA) T = - JA$ ). Por el contrario, toda matriz anti-hamiltoniana surge como el cuadrado de una matriz hamiltoniana. ^[4]

Extensión a matrices complejas

En cuanto a las matrices simplécticas, la definición de matrices hamiltonianas se puede extender a matrices complejas de dos maneras. Una posibilidad es decir que una matriz $A$ es hamiltoniana si $(JA) T = JA$ , como se indicó anteriormente. ^[1]^[4] Otra posibilidad es utilizar la condición $(JA) * = JA$ donde el asterisco superíndice ( $(\cdot) *$ ) denota la transpuesta conjugada . ^[5]

Operadores hamiltonianos

Sea $V$ un espacio vectorial, dotado de una forma simpléctica $Ω$ . Una función lineal se denomina operador hamiltoniano con respecto a $Ω$ si la forma es simétrica. De manera equivalente, debería satisfacer $A:\;V\mapsto V$ $x,y\mapsto \Omega (A(x),y)$

\Omega (A(x),y)=-\Omega (x,A(y))

Elija una base $e 1, \dots, e 2 n$ en $V$ , tal que $Ω$ se escriba como . Un operador lineal es hamiltoniano con respecto a $Ω$ si y solo si su matriz en esta base es hamiltoniana. ^[4] ${\textstyle \suma _{i}e_{i}\cuña e_{n+i}}$

Referencias

^ abc Ikramov, Khakim D. (2001), "Revisión de las raíces cuadradas hamiltonianas de matrices hamiltonianas oblicuas", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 325 : 101–107, doi : 10.1016/S0024-3795(00)00304-9.
^ abcd Meyer, KR; Hall, GR (1991), Introducción a los sistemas dinámicos hamiltonianos y al problema de $N$ cuerpos , Springer , ISBN 0-387-97637-X.
^ Dragt, Alex J. (2005), "El grupo simpléctico y la mecánica clásica", Anales de la Academia de Ciencias de Nueva York , 1045 (1): 291–307, doi :10.1196/annals.1350.025, PMID 15980319.
^ abc Waterhouse, William C. (2005), "La estructura de matrices alternantes-hamiltonianas", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 396 : 385–390, doi : 10.1016/j.laa.2004.10.003.
^ Paige, Chris; Van Loan, Charles (1981), "Una descomposición de Schur para matrices hamiltonianas", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 41 : 11–32, doi : 10.1016/0024-3795(81)90086-0.