conjunto habitado

Propiedad de conjuntos utilizados en matemáticas constructivas.

En matemáticas, un conjunto está habitado si existe un elemento . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\in A}$

En matemáticas clásicas , la propiedad de estar habitado equivale a no estar vacío . Sin embargo, esta equivalencia no es válida en lógica constructiva o intuicionista , por lo que esta terminología separada se utiliza principalmente en la teoría de conjuntos de las matemáticas constructivas .

Definición

En el lenguaje formal de la lógica de primer orden , un conjunto tiene la propiedad de estar habitado si ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \exists z.(z\in A).}$

Definiciones relacionadas

Un conjunto tiene la propiedad de estar vacío si , o equivalente . Aquí representa la negación . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \forall z.(z\notin A)}$ ${\displaystyle \neg \exists z.(z\in A)}$ ${\displaystyle z\notin A}$ ${\displaystyle \neg (z\in A)}$

Un conjunto no está vacío si no está vacío, es decir, si , o equivalentemente . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \neg \forall z.(z\notin A)}$ ${\displaystyle \neg \neg \exists z.(z\in A)}$

Teoremas

Modus ponens implica , y tomando cualquier proposición falsa establece que siempre es válida. Por lo tanto, es probable que cualquier conjunto habitado tampoco esté vacío. ${\displaystyle P\to ((P\to Q)\to Q)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\to \neg \neg P}$

Discusión

En matemáticas constructivas, el principio de eliminación de la doble negación no es automáticamente válido. En particular, una declaración de existencia es generalmente más fuerte que su forma doblemente negada. Este último simplemente expresa que no se puede descartar la existencia, en el sentido fuerte de que no se puede negar consistentemente. En una lectura constructiva, para que alguna fórmula sea válida , es necesario construir o conocer un valor específico de satisfacción . Asimismo, la negación de un enunciado cuantificado universal es en general más débil que una cuantificación existencial de un enunciado negado. A su vez, se puede demostrar que un conjunto no está vacío sin que se pueda demostrar que está habitado. ${\displaystyle \exists z.\phi (z)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \phi }$

Ejemplos

Conjuntos como o están habitados, como lo atestigua, por ejemplo , . El conjunto está vacío y por tanto no habitado. Naturalmente, la sección de ejemplo se centra en conjuntos no vacíos que no están habitados demostrablemente. ${\displaystyle \{2,3,4,7\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 3\in \{2,3,4,7\}}$ ${\displaystyle \{\}}$

Es fácil dar ejemplos de cualquier propiedad teórica de conjuntos simple, porque los enunciados lógicos siempre se pueden expresar como teóricos de conjuntos, utilizando un axioma de separación . Por ejemplo, con un subconjunto definido como , la proposición siempre puede expresarse de manera equivalente como . La afirmación de existencia doblemente negada de una entidad con una determinada propiedad se puede expresar afirmando que el conjunto de entidades con esa propiedad no está vacío. ${\displaystyle S\subset \{0\}}$ ${\displaystyle S:=\{n\in \{0\}\mid P\}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 0\in S}$

Ejemplo relativo al intermediario excluido

Definir un subconjunto mediante ${\displaystyle A\subset \{0,1\}}$

${\displaystyle A:=\{n\in \{0,1\}\mid (P\land n=0)\lor (\neg P\land n=1)\}}$

Claramente y , y del principio de no contradicción se concluye . Además, y a su vez ${\displaystyle P\leftrightarrow 0\in A}$ ${\displaystyle (\neg P)\leftrightarrow 1\in A}$ ${\displaystyle \neg (0\in A\land 1\in A)}$ ${\displaystyle (P\lor \neg P)\leftrightarrow (0\in A\lor 1\in A)}$

${\displaystyle (P\lor \neg P)\to \exists !(n\in \{0,1\}).n\in A}$

La lógica mínima ya demuestra , la doble negación para cualquier enunciado intermedio excluido, que aquí equivale a . Entonces, realizando dos contraposiciones sobre la implicación anterior, se establece . En palabras: No se puede descartar sistemáticamente que exactamente uno de los números y habite . En particular, este último se puede debilitar a , diciendo que se ha demostrado que no está vacío. ${\displaystyle \neg \neg (P\lor \neg P)}$ ${\displaystyle \neg (0\notin A\land 1\notin A)}$ ${\displaystyle \neg \neg \exists !(n\in \{0,1\}).n\in A}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \neg \neg \exists n.n\in A}$ ${\displaystyle A}$

Como declaraciones de ejemplo para , considere la infame declaración probadamente independiente de la teoría, como la hipótesis del continuo , la consistencia de la sólida teoría en cuestión o, informalmente, una afirmación incognoscible sobre el pasado o el futuro. Por diseño, estos se eligen para que no sean demostrables. Una variante de esto es considerar proposiciones matemáticas que simplemente aún no están establecidas; véanse también los contraejemplos brouwerianos . El conocimiento de la validez de cualquiera de los dos o es equivalente al conocimiento sobre lo anterior y no se puede obtener. Dado que ni ni se puede probar en la teoría, tampoco resultará que esté habitado por algún número en particular. Además, un marco constructivo con la propiedad de disyunción no puede probar ninguna de las dos cosas. No hay evidencia a favor , ni a favor , y la imposibilidad constructiva de demostrar su disyunción refleja esto. Sin embargo, dado que descartar el medio excluido siempre es siempre inconsistente, también se establece que no está vacío. La lógica clásica la adopta de forma axiomática, estropeando una lectura constructiva. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle 1\in A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P\lor \neg P}$ ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle 1\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P\lor \neg P}$

Ejemplo relacionado con la elección

Hay varios conjuntos fácilmente caracterizados cuya existencia no es demostrable , pero que se supone que existen según el axioma completo de elección . Como tal, ese axioma es en sí mismo independiente de . De hecho, contradice otros axiomas potenciales de una teoría de conjuntos. Además, de hecho también contradice principios constructivos , en un contexto teórico establecido. Una teoría que no permite el tercero excluido tampoco valida el principio de existencia de la función . ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$ ${\displaystyle {\mathrm {AC} }}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$ ${\displaystyle {\mathrm {AC} }}$

En , esto equivale a la afirmación de que para todo espacio vectorial existe una base. Más concretamente, consideremos la cuestión de la existencia de bases de Hamel de los números reales sobre los números racionales . Este objeto es esquivo en el sentido de que existen diferentes modelos que niegan y validan su existencia. Por lo tanto, también es coherente postular simplemente que aquí no se puede descartar la existencia, en el sentido de que no se puede negar consistentemente. Nuevamente, ese postulado puede expresarse diciendo que el conjunto de tales bases de Hamel no está vacío. En una teoría constructiva, tal postulado es más débil que el postulado de existencia simple, pero (por diseño) sigue siendo lo suficientemente fuerte como para negar todas las proposiciones que implicarían la no existencia de una base de Hamel. ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$ ${\displaystyle {\mathrm {AC} }}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$

Teoría de modelos

Debido a que los conjuntos habitados son lo mismo que los conjuntos no vacíos en la lógica clásica, no es posible producir un modelo en el sentido clásico que contenga un conjunto no vacío pero que no satisfaga " está habitado". ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Sin embargo, es posible construir un modelo de Kripke que diferencie ambas nociones. Dado que una implicación es verdadera en todo modelo de Kripke si y sólo si es demostrable en lógica intuicionista, esto establece de hecho que no se puede probar intuicionistamente que " no está vacío" implica " está habitado". ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ver también

• Intersección (teoría de conjuntos)  : conjunto de elementos comunes a todos algunos conjuntos
• Nada  – Ausencia total de cualquier cosa; lo contrario de todo
• Tipo de habitación en la teoría de tipos .

Referencias

• D. Bridges y F. Richman. 1987. Variedades de Matemática Constructiva . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN  978-0-521-31802-0

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