Grupo diédrico generalizado

Familia de grupos en matemáticas.

En matemáticas , los grupos diédricos generalizados son una familia de grupos con estructuras algebraicas similares a la de los grupos diédricos . Incluyen los grupos diédricos finitos, el grupo diédrico infinito y el grupo ortogonal O (2). Los grupos diédricos desempeñan un papel importante en la teoría de grupos , la geometría y la química .

Definición

Para cualquier grupo abeliano H , el grupo diédrico generalizado de H , escrito Dih( H ), es el producto semidirecto de H y Z ₂ , actuando Z ₂ sobre H invirtiendo elementos. Es decir, con φ(0) la identidad y φ(1) la inversión. ${\displaystyle \mathrm {Dih} (H)=H\rtimes _{\phi }Z_{2}}$

Así obtenemos:

( h ₁ , 0) * ( h ₂ , t ₂ ) = ( h ₁ + h ₂ , t ₂ )

( h ₁ , 1 ) * ( h ₂ , t ₂ ) = ( h ₁ − h ₂ , 1 + t ₂ )

para todo h ₁ , h ₂ en H y t ₂ en Z ₂ .

(Escribiendo Z ₂ multiplicativamente, tenemos ( h ₁ , t ₁ ) * ( h ₂ , t ₂ ) = ( h ₁ + t ₁ h ₂ , t ₁ t ₂ ) .)

Tenga en cuenta que ( h , 0) * (0,1) = ( h ,1), es decir , primero la inversión y luego la operación en H. Además (0, 1) * ( h , t ) = (− h , 1 + t ); de hecho (0,1) invierte h y alterna t entre "normal" (0) e "invertido" (1) (esta operación combinada es su propia inversa).

El subgrupo de Dih( H ) de elementos ( h , 0) es un subgrupo normal de índice 2, isomorfo a H , mientras que los elementos ( h , 1) son todos sus propios inversos.

Las clases de conjugación son:

• los conjuntos {( h ,0 ), (− h ,0 )}
• los conjuntos {( h + k + k , 1) | k en H }

Así, para cada subgrupo M de H , el conjunto correspondiente de elementos ( m ,0) también es un subgrupo normal. Tenemos:

Dih( H ) / M = Dih ( H / M )

Ejemplos

• Dih _n = Dih( Z _n ) (los grupos diédricos )
  • Incluso para n hay dos conjuntos {( h + k + k , 1) | k en H }, y cada uno genera un subgrupo normal de tipo Dih _{n/ 2} . Como subgrupos del grupo de isometría del conjunto de vértices de un n -gón regular, son diferentes: todas las reflexiones en un subgrupo tienen dos puntos fijos, mientras que ninguna en el otro subgrupo los tiene (las rotaciones de ambos son las mismas). Sin embargo, son isomórficos como grupos abstractos.
  • Para n impar solo hay un conjunto {( h + k + k , 1) | k en H }
• Dih _∞ = Dih( Z ) (el grupo diédrico infinito ); hay dos conjuntos {( h + k + k , 1) | k en H }, y cada uno genera un subgrupo normal de tipo Dih _∞ . Como subgrupos del grupo de isometría de Z son diferentes: las reflexiones en un subgrupo tienen todas un punto fijo, los espejos están en los números enteros, mientras que ninguno en el otro subgrupo lo tiene, los espejos están en el medio (las traslaciones de ambos son las igual: por números pares). Sin embargo, son isomórficos como grupos abstractos.
• Dih(S ¹ ), o grupo ortogonal O(2, R ), u O(2): el grupo de isometría de un círculo , o equivalentemente, el grupo de isometrías en 2D que mantienen fijo el origen. Las rotaciones forman el grupo circular S ¹ , o equivalentemente SO(2, R ), también escrito SO(2), y R / Z  ; también es el grupo multiplicativo de números complejos de valor absoluto 1. En este último caso una de las reflexiones (que genera las demás) es la conjugación compleja . No existen subgrupos normales adecuados con reflexiones. Los subgrupos normales discretos son grupos cíclicos de orden n para todos los números enteros positivos n . Los grupos cocientes son isomorfos con el mismo grupo Dih(S ¹ ).
• Dih( R ⁿ ): el grupo de isometrías de R ⁿ que consta de todas las traslaciones e inversiones en todos los puntos; para n = 1 este es el grupo euclidiano E(1) ; para n > 1 el grupo Dih( R ⁿ ) es un subgrupo propio de E( n ), es decir, no contiene todas las isometrías.
• H puede ser cualquier subgrupo de ^Rn , por ejemplo un subgrupo discreto; en ese caso, si se extiende en n direcciones es una red .
  • Los subgrupos discretos de Dih ( R ² ) que contienen traslaciones en una dirección son del tipo grupo friso y 22 . ${\displaystyle \infty \infty }$ ${\displaystyle \infty }$
  • Los subgrupos discretos de Dih ( R ² ) que contienen traslaciones en dos direcciones son del tipo de grupo de papel tapiz p1 y p2.
  • Los subgrupos discretos de Dih ( R ³ ) que contienen traslaciones en tres direcciones son grupos espaciales del sistema cristalino triclínico .

Propiedades

Dih( H ) es abeliano, siendo el producto semidirecto un producto directo, si y sólo si todos los elementos de H son su propio inverso, es decir, un 2-grupo abeliano elemental :

• Dih( Z ₁ ) = Dih ₁ = Z ₂
• Dih( Z ₂ ) = Dih ₂ = Z ₂ × Z ₂ ( cuatro grupos de Klein )
• Dih(Dih ₂ ) = Dih ₂ × Z ₂ = Z ₂ × Z ₂ × Z ₂

etc.

Topología

Dih( R ⁿ ) y sus subgrupos diédricos son grupos topológicos desconectados . Dih( R ⁿ ) consta de dos componentes conectados : el componente identidad isomorfo a R ⁿ y el componente con las reflexiones. De manera similar, O (2) consta de dos componentes conectados: el componente de identidad isomorfo al grupo circular y el componente con las reflexiones.

Para el grupo Dih _∞ podemos distinguir dos casos:

• Dih _∞ como grupo de isometría de Z
• Dih _∞ como un grupo de isometría bidimensional generado por una rotación por un número irracional de vueltas y una reflexión

Ambos grupos topológicos están totalmente desconectados , pero en el primer caso los componentes (singleton) están abiertos, mientras que en el segundo no lo están. Además, el primer grupo topológico es un subgrupo cerrado de Dih( R ), pero el segundo no es un subgrupo cerrado de O(2).

Referencias