grupo coxeter

Grupo que admite una descripción formal en términos de reflexiones.

En matemáticas , un grupo Coxeter , llamado así en honor a HSM Coxeter , es un grupo abstracto que admite una descripción formal en términos de reflejos (o espejos caleidoscópicos ). De hecho, los grupos finitos de Coxeter son precisamente los grupos finitos de reflexión euclidianos ; por ejemplo, el grupo de simetría de cada poliedro regular es un grupo de Coxeter finito. Sin embargo, no todos los grupos de Coxeter son finitos y no todos pueden describirse en términos de simetrías y reflexiones euclidianas. Los grupos de Coxeter se introdujeron en 1934 como abstracciones de grupos de reflexión, ^[1] y los grupos finitos de Coxeter se clasificaron en 1935. ^[2]

Los grupos de Coxeter encuentran aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas. Ejemplos de grupos finitos de Coxeter incluyen los grupos de simetría de politopos regulares y los grupos de Weyl de álgebras de Lie simples . Ejemplos de grupos infinitos de Coxeter incluyen los grupos de triángulos correspondientes a teselaciones regulares del plano euclidiano y el plano hiperbólico , y los grupos de Weyl de álgebras de Kac-Moody de dimensión infinita . ^{[3] [4] [5]}

Definición

Formalmente, un grupo Coxeter se puede definir como un grupo con la presentación

${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$

donde y es un número entero o for . Aquí, la condición significa que no se debe imponer ninguna relación de la forma para cualquier número entero . ${\displaystyle m_{ii}=1}$ ${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}\geq 2}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle m_{ij}=\infty }$ ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}=1}$ ${\displaystyle m\geq 2}$

El par donde hay un grupo Coxeter con generadores se llama sistema Coxeter . Tenga en cuenta que, en general, no está determinado únicamente por . Por ejemplo, los grupos de tipo Coxeter y son isomórficos pero los sistemas Coxeter no son equivalentes, ya que el primero tiene 3 generadores y el segundo tiene 1 + 3 = 4 generadores (ver más abajo para una explicación de esta notación). ${\displaystyle (W,S)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S=\{r_{1},\dots ,r_{n}\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle A_{1}\times A_{3}}$

De la definición anterior se pueden extraer inmediatamente varias conclusiones.

• La relación significa que para todos  ; como tales los generadores son involuciones . ${\displaystyle m_{ii}=1}$ ${\displaystyle (r_{i}r_{i})^{1}=(r_{i})^{2}=1}$ ${\displaystyle i}$
• Si , entonces los generadores y conmutan. Esto se sigue al observar que ${\displaystyle m_{ij}=2}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{j}}$

${\displaystyle xx=yy=1}$,

Juntos con

${\displaystyle xyxy=1}$

implica que

${\displaystyle xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx}$.

Alternativamente, dado que los generadores son involuciones, entonces . Es decir, el conmutador de y es igual a 1, o equivalentemente y conmuta. ${\displaystyle r_{i}=r_{i}^{-1}}$ ${\displaystyle 1=(r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^{-1}r_{j}^{-1}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{j}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{j}}$

La razón por la que se estipula en la definición es que ${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}}$ ${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle yy=1}$,

Juntos con

${\displaystyle (xy)^{m}=1}$

ya implica que

${\displaystyle (yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m}y=yy=1}$.

Una prueba alternativa de esta implicación es la observación de que y son conjugados : de hecho . ${\displaystyle (xy)^{k}}$ ${\displaystyle (yx)^{k}}$ ${\displaystyle y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}}$

Matriz de Coxeter y matriz de Schläfli

La matriz de Coxeter es la matriz simétrica con entradas . De hecho, toda matriz simétrica con entradas diagonales exclusivamente 1 y entradas no diagonales en el conjunto es una matriz de Coxeter. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle m_{ij}}$ ${\displaystyle \{2,3,\ldots \}\cup \{\infty \}}$

La matriz de Coxeter se puede codificar convenientemente mediante un diagrama de Coxeter , según las siguientes reglas.

• Los vértices del gráfico están etiquetados por subíndices generadores.
• Los vértices y son adyacentes si y sólo si . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle m_{ij}\geq 3}$
• Un borde está etiquetado con el valor de siempre que el valor sea o mayor. ${\displaystyle m_{ij}}$ ${\displaystyle 4}$

En particular, dos generadores conmutan si y sólo si no están unidos por un borde. Además, si un gráfico de Coxeter tiene dos o más componentes conectados , el grupo asociado es el producto directo de los grupos asociados a los componentes individuales. Por tanto, la unión disjunta de gráficos de Coxeter produce un producto directo de grupos de Coxeter.

La matriz de Coxeter, , está relacionada con la matriz de Schläfli con entradas , pero los elementos se modifican, siendo proporcional al producto escalar de los generadores por pares. La matriz de Schläfli es útil porque sus valores propios determinan si el grupo de Coxeter es de tipo finito (todos positivos), de tipo afín (todos no negativos, al menos un cero) o de tipo indefinido (en caso contrario). El tipo indefinido a veces se subdivide, por ejemplo, en grupos hiperbólicos y otros de Coxeter. Sin embargo, existen múltiples definiciones no equivalentes para los grupos de Coxeter hiperbólicos. ${\displaystyle M_{ij}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{ij}=-2\cos(\pi /M_{ij})}$

Un ejemplo

El gráfico An en el que _los vértices del 1 al n se colocan en una fila con cada vértice unido por un borde sin etiquetar a sus vecinos inmediatos es el diagrama de Coxeter del grupo simétrico S _{n +1} ; los generadores corresponden a las transposiciones (1 2), (2 3), ... , ( n n +1). Dos transposiciones cualesquiera no consecutivas se conmutan, mientras que al multiplicar dos transposiciones consecutivas se obtiene un ciclo de 3: ( k k +1) ( k +1 k +2) = ( k k +2 k +1). Por lo tanto S _n+1 es un cociente del grupo de Coxeter que tiene el diagrama de _Coxeter An . Otros argumentos muestran que este mapa de cocientes es un isomorfismo.

Abstracción de grupos de reflexión.

Los grupos de Coxeter son una abstracción de los grupos de reflexión. Los grupos de Coxeter son grupos abstractos , en el sentido de que se dan mediante una presentación. Por otro lado, los grupos de reflexión son concretos , en el sentido de que cada uno de sus elementos es el compuesto de un número finito de reflexiones geométricas sobre hiperplanos lineales en algún espacio euclidiano. Técnicamente, un grupo de reflexión es un subgrupo de un grupo lineal (o varias generalizaciones) generado por matrices ortogonales del determinante -1. Cada generador de un grupo de Coxeter tiene orden 2, lo que abstrae el hecho geométrico de que realizar una reflexión dos veces es la identidad. Cada relación de la forma , correspondiente al hecho geométrico de que, dados dos hiperplanos que se encuentran en un ángulo de , la combinación de las dos reflexiones sobre estos hiperplanos es una rotación de , que tiene orden k . ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}}$ ${\displaystyle \pi /k}$ ${\displaystyle 2\pi /k}$

De esta manera, cada grupo de reflexión podrá presentarse como un grupo Coxeter. ^[1] Lo contrario es parcialmente cierto: cada grupo finito de Coxeter admite una representación fiel como un grupo de reflexión finito de algún espacio euclidiano. ^[2] Sin embargo, no todo grupo infinito de Coxeter admite una representación como grupo de reflexión.

Se han clasificado grupos finitos de Coxeter. ^[2]

Grupos finitos de Coxeter

Gráficos de Coxeter de los grupos finitos de Coxeter

Clasificación

Los grupos finitos de Coxeter se clasifican en términos de sus diagramas de Coxeter . ^[2]

Los grupos finitos de Coxeter con diagramas de Coxeter conectados constan de 3 familias de un parámetro de rango creciente, una familia de un parámetro de dimensión dos y 6 grupos excepcionales : y . Cada grupo finito de Coxeter es el producto directo de un número finito de grupos Coxeter en la lista anterior. ${\displaystyle A_{n},B_{n},D_{n},}$ ${\displaystyle I_{2}(p),}$ ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},H_{3},}$ ${\displaystyle H_{4}}$

Grupos Weyl

Muchos, pero no todos, son grupos Weyl, y cada grupo Weyl puede considerarse un grupo Coxeter. Los grupos Weyl son las familias y las excepciones y se denotan en la notación del grupo Weyl como ${\displaystyle A_{n},B_{n},}$ ${\displaystyle D_{n},}$ ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},}$ ${\displaystyle I_{2}(6),}$ ${\displaystyle G_{2}.}$

Los que no son Weyl son las excepciones y aquellos miembros de la familia que no son excepcionalmente isomórficos a un grupo Weyl (es decir, y ). ${\displaystyle H_{3}}$ ${\displaystyle H_{4},}$ ${\displaystyle I_{2}(p)}$ ${\displaystyle I_{2}(3)\cong A_{2},I_{2}(4)\cong B_{2},}$ ${\displaystyle I_{2}(6)\cong G_{2}}$

Esto se puede probar comparando las restricciones de los diagramas de Dynkin (no dirigidos) con las restricciones de los diagramas de Coxeter de grupos finitos: formalmente, el gráfico de Coxeter se puede obtener a partir del diagrama de Dynkin descartando la dirección de los bordes y reemplazando cada borde doble con un borde etiquetado como 4 y cada borde triple por un borde etiquetado como 6. También tenga en cuenta que cada grupo Coxeter generado finitamente es un grupo automático . ^[6] Los diagramas de Dynkin tienen la restricción adicional de que las únicas etiquetas de borde permitidas son 2, 3, 4 y 6, lo que produce lo anterior. Geométricamente, esto corresponde al teorema de restricción cristalográfica , y al hecho de que los politopos excluidos no llenan el espacio ni enlosan el plano, ya que el dodecaedro (dualmente, icosaedro) no llena el espacio; para el de 120 celdas (doble, de 600 celdas) no llena el espacio; porque un p -gon no mosaico el plano excepto o (los mosaicos triangular, cuadrado y hexagonal, respectivamente). ${\displaystyle H_{3},}$ ${\displaystyle H_{4},}$ ${\displaystyle I_{2}(p)}$ ${\displaystyle p=3,4,}$ ${\displaystyle 6}$

Tenga en cuenta además que los diagramas de Dynkin (dirigidos) B _n y C _n dan lugar al mismo grupo Weyl (de ahí el grupo Coxeter), porque difieren como grafos dirigidos , pero concuerdan como grafos no dirigidos : la dirección importa para los sistemas de raíces pero no para los de Weyl. grupo; esto corresponde a que el hipercubo y el politopo cruzado son politopos regulares diferentes pero tienen el mismo grupo de simetría.

Propiedades

En la siguiente tabla se dan algunas propiedades de los grupos finitos irreducibles de Coxeter. El orden de un grupo reducible se puede calcular mediante el producto de los pedidos de sus subgrupos irreducibles.

Grupos de simetría de politopos regulares.

El grupo de simetría de todo politopo regular es un grupo de Coxeter finito. Tenga en cuenta que los politopos duales tienen el mismo grupo de simetría.

Hay tres series de politopos regulares en todas las dimensiones. El grupo de simetría de un n -simplex regular es el grupo simétrico S _{n +1} , también conocido como grupo de Coxeter de tipo A _n . El grupo de simetría del n - cubo y su dual, el n -politopo cruzado, es Bn _, y se conoce como grupo hiperoctaédrico .

Los excepcionales politopos regulares en dimensiones dos, tres y cuatro corresponden a otros grupos de Coxeter. En dos dimensiones, los grupos diédricos , que son los grupos de simetría de los polígonos regulares , forman la serie I ₂ ( p ), para p ≥ 3. En tres dimensiones, el grupo de simetría del dodecaedro regular y su dual, el icosaedro regular , es H ₃ , conocido como grupo icosaédrico completo . En cuatro dimensiones, hay tres politopos regulares excepcionales, el de 24 celdas , el de 120 celdas y el de 600 celdas . El primero tiene grupo de simetría F ₄ , mientras que los otros dos son duales y tienen grupo de simetría H ₄ .

Los grupos de Coxeter de tipo D _n , E ₆ , E ₇ y E ₈ son los grupos de simetría de ciertos politopos semirregulares .

Grupos afines de Coxeter

Diagramas de Coxeter para los grupos de Coxeter afines

Diagrama de Stiefel para el sistema radicular. ${\displaystyle G_{2}}$

Los grupos afines de Coxeter forman una segunda serie importante de grupos de Coxeter. Estos no son finitos en sí mismos, pero cada uno contiene un subgrupo abeliano normal tal que el grupo cociente correspondiente es finito. En cada caso, el grupo cociente es en sí mismo un grupo de Coxeter, y el gráfico de Coxeter del grupo de Coxeter afín se obtiene del gráfico de Coxeter del grupo de cocientes agregando otro vértice y una o dos aristas adicionales. Por ejemplo, para n  ≥ 2, el gráfico que consta de n +1 vértices en un círculo se obtiene de An de esta manera, y el grupo de Coxeter correspondiente es el grupo Weyl afín de _{An (} el grupo simétrico afín ). Para n  = 2, esto se puede representar como un subgrupo del grupo de simetría del mosaico estándar del plano mediante triángulos equiláteros.

En general, dado un sistema de raíces, se puede construir el diagrama de Stiefel asociado , que consta de hiperplanos ortogonales a las raíces junto con ciertas traslaciones de estos hiperplanos. El grupo afín de Coxeter (o grupo afín de Weyl) es entonces el grupo generado por las reflexiones (afines) sobre todos los hiperplanos del diagrama. ^[9] El diagrama de Stiefel divide el plano en infinitos componentes conectados llamados nichos , y el grupo afín de Coxeter actúa libre y transitivamente sobre los nichos, tal como el grupo Weyl ordinario actúa libre y transitivamente sobre las cámaras de Weyl. La figura de la derecha ilustra el diagrama de Stiefel para el sistema raíz. ${\displaystyle G_{2}}$

Supongamos que es un sistema de raíces irreductible de rango y sea una colección de raíces simples. Denotemos también la raíz más alta. Luego, el grupo de Coxeter afín se genera mediante las reflexiones ordinarias (lineales) sobre los hiperplanos perpendiculares a , junto con una reflexión afín sobre una traslación del hiperplano perpendicular a . El gráfico de Coxeter para el grupo Weyl afín es el diagrama de Coxeter-Dynkin para , junto con un nodo adicional asociado a . En este caso, se puede obtener un nicho del diagrama de Stiefel tomando la cámara de Weyl fundamental y cortándola mediante una traslación del hiperplano perpendicular a . ^[10] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$ ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$ ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$ ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$

A continuación se incluye una lista de los grupos afines de Coxeter:

El subíndice del símbolo del grupo es uno menos que el número de nodos en cada caso, ya que cada uno de estos grupos se obtuvo agregando un nodo al gráfico de un grupo finito.

Grupos de Coxeter hiperbólicos

Hay infinitos grupos de Coxeter hiperbólicos que describen grupos de reflexión en el espacio hiperbólico , incluidos en particular los grupos de triángulos hiperbólicos.

Grupos irreductibles de Coxeter

Se dice que un grupo de Coxeter es irreducible si su diagrama de Coxeter-Dynkin es conexo. Cada grupo de Coxeter es el producto directo de los grupos irreducibles que corresponden a los componentes de su diagrama de Coxeter-Dynkin.

Órdenes parciales

La elección de generadores de reflexión da lugar a una función de longitud ℓ en un grupo de Coxeter, es decir, el número mínimo de usos de generadores necesarios para expresar un elemento de grupo; esta es precisamente la longitud de la palabra métrica en el gráfico de Cayley . Una expresión para v que utiliza generadores de ℓ ( v ) es una palabra reducida . Por ejemplo, la permutación (13) en S ₃ tiene dos palabras reducidas, (12)(23)(12) y (23)(12)(23). La función define un mapa que generaliza el mapa de signos para el grupo simétrico. ${\displaystyle v\to (-1)^{\ell (v)}}$ ${\displaystyle G\to \{\pm 1\},}$

Usando palabras reducidas se pueden definir tres órdenes parciales en el grupo de Coxeter, el orden débil (derecho) , el orden absoluto y el orden Bruhat (llamado así por François Bruhat ). Un elemento v excede un elemento u en el orden Bruhat si alguna (o equivalentemente, cualquier) palabra reducida para v contiene una palabra reducida para u como subcadena, donde se eliminan algunas letras (en cualquier posición). En el orden débil, v  ≥  u si alguna palabra reducida para v contiene una palabra reducida para u como segmento inicial. De hecho, la longitud de la palabra convierte esto en un poset graduado . Los diagramas de Hasse correspondientes a estos órdenes son objeto de estudio, y están relacionados con el gráfico de Cayley determinado por los generadores. El orden absoluto se define de manera análoga al orden débil, pero con un conjunto generador/alfabeto que consta de todos los conjugados de los generadores de Coxeter.

Por ejemplo, la permutación (1 2 3) en S ₃ tiene solo una palabra reducida, (12)(23), por lo que cubre (12) y (23) en el orden Bruhat pero solo cubre (12) en el orden débil.

Homología

Dado que un grupo de Coxeter es generado por un número finito de elementos de orden 2, su abelianización es un 2-grupo abeliano elemental , es decir, es isomorfo a la suma directa de varias copias del grupo cíclico . Esto puede reformularse en términos del primer grupo de homología de . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle W}$

El multiplicador de Schur , igual al segundo grupo de homología de , se calculó en (Ihara y Yokonuma 1965) para grupos de reflexión finitos y en (Yokonuma 1965) para grupos de reflexión afines, con una explicación más unificada en (Howlett 1988). En todos los casos, el multiplicador de Schur es también un grupo 2 abeliano elemental. Para cada familia infinita de grupos Weyl finitos o afines, el rango de se estabiliza a medida que avanza hacia el infinito. ${\displaystyle M(W)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \{W_{n}\}}$ ${\displaystyle M(W_{n})}$ ${\displaystyle n}$

Ver también

• Grupo Artin-Tetas
• Teorema de Chevalley-Shephard-Todd
• Grupo de reflexión complejo
• elemento coxeter
• Álgebra de Iwahori-Hecke , una deformación cuántica del álgebra de grupos
• Polinomio de Kazhdan-Lusztig
• Elemento más largo de un grupo Coxeter
• Subgrupo parabólico de un grupo de reflexión.
• Arreglo supersoluble

Notas

1. un subgrupo de índice 2 de ${\displaystyle \operatorname {GO} _{4}^{+}(5)}$

Referencias

1. Coxeter, HSM (1934). "Grupos discretos generados por reflexiones". Anales de Matemáticas . 35 : 588–621. CiteSeerX  10.1.1.128.471 . doi :10.2307/1968753. JSTOR  1968753.
2. Coxeter, HSM (enero de 1935). "La enumeración completa de grupos finitos de la forma ". Revista de la Sociedad Matemática de Londres : 21–25. doi :10.1112/jlms/s1-10.37.21. ${\displaystyle r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1}$
3. Bourbaki, Nicolás (2002). "4-6". Grupos de mentiras y álgebras de mentiras . Elementos de las Matemáticas. Saltador. ISBN 978-3-540-42650-9. Zbl  0983.17001.
4. Humphreys, James E. (1990). Grupos de reflexión y grupos de Coxeter (PDF) . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 29. Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/CBO9780511623646. ISBN 978-0-521-43613-7. Zbl  0725.20028 . Consultado el 18 de noviembre de 2023 .
5. Davis, Michael W. (2007). La geometría y topología de los grupos de Coxeter (PDF) . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-13138-2. Zbl  1142.20020 . Consultado el 18 de noviembre de 2023 .
6. Borde, Brigitte; Howlett, Robert B. (1993). "Una propiedad de finitud y una estructura automática para grupos de Coxeter". Annalen Matemáticas . 296 (1): 179-190. doi :10.1007/BF01445101. S2CID  122177473. Zbl  0793.20036.
7. Coxeter, HSM "12.6. El número de reflexiones". Politopos regulares . ISBN 0-486-61480-8.
8. Wilson, Robert A. (2009), "Capítulo 2", Los grupos finitos simples , Textos de Graduado en Matemáticas 251, vol. 251, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5
9. Salón 2015 Sección 13.6
10. Hall 2015 Capítulo 13, Ejercicios 12 y 13

Bibliografía

• Salón, Brian C. (2015). Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 222 (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-3-319-13466-6.
• Ihara, S.; Yokonuma, Takeo (1965). "Sobre los segundos grupos de cohomología (multiplicadores de Schur) de grupos de reflexión finitos" (PDF) . J. Fac. Ciencia. Univ. Tokio, sec. 1 . 11 : 155-171. Zbl  0136.28802. Archivado desde el original (PDF) el 23 de octubre de 2013.
• Howlett, Robert B. (1988). "Sobre los multiplicadores Schur de los grupos Coxeter". J. Matemáticas de Londres. Soc . 2. 38 (2): 263–276. doi :10.1112/jlms/s2-38.2.263. Zbl  0627.20019.
• Yokonuma, Takeo (1965). "Sobre los segundos grupos de cohomología (multiplicadores de Schur) de infinitos grupos de reflexión discretos". J. Fac. Ciencia. Univ. Tokio, sec. 1 . 11 : 173–186. hdl :2261/6049. Zbl  0136.28803.

Otras lecturas

• Björner, Anders ; Brenti, Francesco (2005). Combinatoria de grupos de Coxeter. Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 231. Saltador. ISBN 978-3-540-27596-1. Zbl  1110.05001.
• Grove, Larry C.; Benson, Clark T. (1985). Grupos de reflexión finitos. Textos de posgrado en matemáticas. vol. 99. Saltador. ISBN 978-0-387-96082-1.
• Kane, Richard (2001). Grupos de reflexión y teoría invariante. Libros CMS en Matemáticas. Saltador. ISBN 978-0-387-98979-2. Zbl  0986.20038.
• Hiller, Howard (1982). Geometría de grupos de Coxeter. Notas de investigación en matemáticas. vol. 54. Pitman. ISBN 978-0-273-08517-1. Zbl  0483.57002.
• Vinberg, Ernest B. (1984). "Ausencia de grupos cristalográficos de reflexiones en espacios de Lobachevski de gran dimensión". Trudy Moskov. Estera. Obshch . 47 .

enlaces externos

• "Grupo Coxeter", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. , "Grupo Coxeter", MathWorld
• Software Jenn para visualizar los gráficos de Cayley de grupos finitos de Coxeter en hasta cuatro generadores