En (álgebra de Lie)

En matemáticas , especialmente en la teoría de Lie , E _n es el álgebra de Kac-Moody cuyo diagrama de Dynkin es un grafo bifurcado con tres ramas de longitud 1, 2 y k , con k = n − 4 .

En algunos libros y artículos antiguos, E ₂ y E ₄ se utilizan como nombres para G 2 y F 4 .

Álgebras de Lie de dimensión finita

El grupo E _n es similar al grupo A _n , excepto que el nodo n está conectado al nodo 3. Por lo tanto, la matriz de Cartan parece similar, −1 por encima y por debajo de la diagonal, excepto que la última fila y columna tienen −1 en la tercera fila y columna. El determinante de la matriz de Cartan para E _n es 9 − n .

• E ₃ es otro nombre para el álgebra de Lie A ₁ A ₂ de dimensión 11, con determinante de Cartan 6.

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0\\-1&2&0\\0&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E ₄ es otro nombre para el álgebra de Lie A ₄ de dimensión 24, con determinante de Cartan 5.

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0\\-1&2&-1&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{matrix}}\right]}$

• E ₅ es otro nombre para el álgebra de Lie D ₅ de dimensión 45, con determinante de Cartan 4.

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0\\-1&2&-1&0&0\\0&-1&2&-1&-1\\0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E 6 es el álgebra de Lie excepcional de dimensión 78, con determinante de Cartan 3.

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E 7 es el álgebra de Lie excepcional de dimensión 133, con determinante de Cartan 2.

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E 8 es el álgebra de Lie excepcional de dimensión 248, con determinante de Cartan 1.

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&2\end{matrix}}\right]}$

Álgebras de Lie de dimensión infinita

• E ₉ es otro nombre para el álgebra de Lie afín de dimensión infinita Ẽ ₈ (también como E⁺
  ₈o E⁽¹⁾
  ₈como una red E ₈ extendida (de un nodo) (o red E 8 ) correspondiente al álgebra de Lie de tipo E 8 . E ₉ tiene una matriz de Cartan con determinante 0.

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E ₁₀ (o E⁺⁺
  ₈o E^{(1)^}
  ₈como una E ₈ (de dos nodos) sobreextendida ) es un álgebra de Kac–Moody de dimensión infinita cuya red de raíces es la red unimodular lorentziana par II _9,1 de dimensión 10. Se han calculado algunas de sus multiplicidades de raíces; para raíces pequeñas las multiplicidades parecen comportarse bien, pero para raíces más grandes los patrones observados fallan. E ₁₀ tiene una matriz de Cartan con determinante −1:

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E ₁₁ (o E⁺⁺⁺
  ₈como una E ₈ (de tres nodos) muy extendida , es un álgebra de Lorentz , que contiene una dimensión imaginaria de tipo temporal, que se ha conjeturado que genera el "grupo" de simetría de la teoría M.
• E _n para n ≥ 12 es una familia de álgebras de Kac-Moody de dimensión infinita que no están bien estudiadas.

Enrejado de raíces

La red raíz de E _n tiene determinante 9 − n , y puede construirse como la red de vectores en la red lorentziana unimodular Z _{n ,1} que son ortogonales al vector (1,1,1,1,...,1|3) de norma n × 1 ² − 3 ² = n − 9 .

mi.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}7+1 ⁄ 2

Landsberg y Manivel ampliaron la definición de E _n para el entero n para incluir el caso n = 7+1 ⁄ 2 . Hicieron esto para llenar el "vacío" en las fórmulas de dimensión para las representaciones de la serie E _n que fue observado por Cvitanovic, Deligne, Cohen y de Man. E _{7+1 ⁄ 2} tiene dimensión 190, pero no es un álgebra de Lie simple: contiene unálgebra de Heisenbergcomo sunilradical.

Véase también

• k 21 , 2 k1 , 1 k2 politopos basados ​​en álgebras de Lie de E _n .

Referencias

• Kac, Victor G; Moody, RV; Wakimoto, M. (1988). "Sobre E ₁₀ ". Métodos geométricos diferenciales en física teórica (Como, 1987) . NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. Vol. 250. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. págs. 109–128. MR  0981374.

Lectura adicional

• West, P. (2001). "E ₁₁ y teoría M". Gravedad clásica y cuántica . 18 (21): 4443–4460. arXiv : hep-th/0104081 . Código Bibliográfico :2001CQGra..18.4443W. doi :10.1088/0264-9381/18/21/305. S2CID  250872099.Clase. Gravedad cuántica 18 (2001) 4443-4460
• Gebert, RW; Nicolai, H. (1994). "E 10 para principiantes". E ₁₀ para principiantes . Apuntes de conferencias de física. vol. 447, págs. 197-210. arXiv : hep-th/9411188 . doi :10.1007/3-540-59163-X_269. ISBN 978-3-540-59163-4. Número de identificación del sujeto  14570784.Actas de la conferencia conmemorativa de Guersey de 1994
• Landsberg, JM; Manivel, L. (2006). "Los sextoniones y E7½". Avances en Matemáticas . 201 (1): 143–179. arXiv : math.RT/0402157 . doi : 10.1016/j.aim.2005.02.001 .
• Conexiones entre las álgebras de Kac-Moody y la teoría M , Paul P. Cook, 2006 [1]
• Una clase de álgebras de Kac-Moody de Lorentz , Matthias R. Gaberdiel, David I. Olive y Peter C. West, 2002 [2]