En matemáticas, un grupo pseudo-reductivo sobre un cuerpo k (a veces llamado un grupo k -reductivo ) es un grupo algebraico afín conexo suave definido sobre k cuyo radical k -unipotente (es decir, el mayor subgrupo k normal unipotente conexo suave ) es trivial. Sobre cuerpos perfectos estos son los mismos que los grupos reductivos (conexos) , pero sobre cuerpos no perfectos Jacques Tits encontró algunos ejemplos de grupos pseudo-reductivos que no son reductivos. Un grupo k pseudo-reductivo no necesita ser reductivo (ya que la formación del radical k -unipotente generalmente no conmuta con una extensión escalar no separable en k , como la extensión escalar a un cierre algebraico de k ). Los grupos pseudo-reductivos surgen naturalmente en el estudio de grupos algebraicos sobre cuerpos de funciones de variedades de dimensión positiva en característica positiva (incluso sobre un cuerpo perfecto de constantes).
Springer (1998) ofrece una exposición de los resultados de Tits sobre grupos pseudo-reductivos, mientras que Conrad, Gabber y Prasad (2010) se basan en el trabajo de Tits para desarrollar una teoría de estructura general, que incluye temas más avanzados como técnicas de construcción, sistemas de raíces y grupos de raíces y celdas abiertas, teoremas de clasificación y aplicaciones a teoremas de conjugación racional para grupos afines conexos suaves sobre cuerpos arbitrarios. La teoría general (con aplicaciones) a partir de 2010 se resume en Rémy (2011), y el trabajo posterior en la segunda edición Conrad, Gabber y Prasad (2015) y en Conrad y Prasad (2016) proporciona refinamientos adicionales.
Supóngase que k es un cuerpo no perfecto de característica 2, y a es un elemento de k que no es un cuadrado. Sea G el grupo de elementos distintos de cero x + y √ a en k [ √ a ]. Hay un morfismo de G al grupo multiplicativo G m que lleva x + y √ a a su norma x 2 – ay 2 , y el núcleo es el subgrupo de elementos de norma 1. El esquema reducido subyacente del núcleo geométrico es isomorfo al grupo aditivo G a y es el radical unipotente de la fibra geométrica de G , pero este esquema de subgrupo reducido de la fibra geométrica no está definido sobre k (es decir, no surge de un subesquema cerrado de G sobre el cuerpo base k ) y el radical k -unipotente de G es trivial. Por tanto, G es un k -grupo pseudo-reductivo pero no es un k -grupo reductivo. Una construcción similar funciona utilizando una extensión finita puramente inseparable, no trivial y primitiva de cualquier campo imperfecto en cualquier característica positiva, con la única diferencia de que la fórmula para el mapa normativo es un poco más complicada que en los ejemplos cuadráticos anteriores.
De manera más general, si K es una extensión finita puramente inseparable no trivial de k y G es cualquier K -grupo reductivo conexo no trivial definido, entonces la restricción de Weil H = R K / k ( G ) es un k -grupo afín conexo suave para el cual hay un homomorfismo (sobreyectivo) de H K sobre G . El núcleo de este K -homomorfismo desciende del radical unipotente de la fibra geométrica de H y no está definido sobre k (es decir, no surge de un esquema de subgrupo cerrado de H ), por lo que R K / k ( G ) es pseudo-reductivo pero no reductivo. El ejemplo anterior es el caso especial que utiliza el grupo multiplicativo y la extensión K = k [ √ a ].
Sobre cuerpos de característica mayor que 3, todos los grupos pseudo-reductivos pueden obtenerse a partir de grupos reductivos mediante la "construcción estándar", una generalización de la construcción anterior. La construcción estándar implica una elección auxiliar de un grupo pseudo-reductivo conmutativo, que resulta ser un subgrupo de Cartan del resultado de la construcción, y la principal complicación para un grupo pseudo-reductivo general es que la estructura de los subgrupos de Cartan (que siempre son conmutativos y pseudo-reductivos) es misteriosa. Los grupos pseudo-reductivos conmutativos no admiten ninguna clasificación útil (en contraste con el caso reductivo conexo, para el cual son toros y por lo tanto son accesibles a través de redes de Galois), pero módulo éste tiene una descripción útil de la situación fuera de las características 2 y 3 en términos de grupos reductivos sobre algunas extensiones finitas (posiblemente inseparables) del cuerpo base.
Sobre cuerpos imperfectos de características 2 y 3 hay algunos grupos pseudo-reductivos extra (llamados exóticos) provenientes de la existencia de isogenias excepcionales entre grupos de tipos B y C en la característica 2, entre grupos de tipo F 4 en la característica 2, y entre grupos de tipo G 2 en la característica 3, utilizando una construcción análoga a la de los grupos de Ree . Además, en la característica 2 hay posibilidades adicionales que surgen no de isogenias excepcionales sino más bien del hecho de que para el tipo C simplemente conexo (es decir, grupos simplécticos) hay raíces que son divisibles (por 2) en la red de pesos; esto da lugar a ejemplos cuyo sistema de raíces (sobre una clausura separable del cuerpo fundamental) no es reducido; Tales ejemplos existen con un toro maximal dividido y un sistema de raíces no reducido irreducible de cualquier rango positivo sobre cada cuerpo imperfecto de característica 2. La clasificación en la característica 3 es tan completa como en características mayores, pero en la característica 2 la clasificación es más completa cuando [k:k^2]=2 (debido a complicaciones causadas por los ejemplos con un sistema de raíces no reducido, así como fenómenos relacionados con ciertas formas cuadráticas degeneradas regulares que solo pueden existir cuando [k:k^2]>2 ). El trabajo posterior de Conrad & Prasad (2016), basándose en material adicional incluido en la segunda edición Conrad, Gabber & Prasad (2015), completa la clasificación en la característica 2 hasta una extensión central controlada al proporcionar una serie exhaustiva de construcciones adicionales que solo existen cuando [k:k^2]>2 , descansando en última instancia en una noción de grupo ortogonal especial adjunta a espacios cuadráticos regulares pero degenerados y no completamente defectuosos en la característica 2.