Grupo calibre (matemáticas)

Grupo de simetrías de calibre en la teoría de Yang-Mills

Un grupo de calibre es un grupo de simetrías de calibre de la teoría de calibre de Yang-Mills de las conexiones principales en un haz principal . Dado un paquete principal con una estructura de grupo de Lie , un grupo de calibre se define como un grupo de sus automorfismos verticales. Este grupo es isomorfo al grupo de secciones globales del paquete de grupo asociado cuya fibra típica es un grupo que actúa sobre sí mismo mediante la representación adjunta . El elemento unitario de es una sección constante de valor unitario de . ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(X)}$ ${\displaystyle {\widetilde {P}}\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(X)}$ ${\displaystyle g(x)=1}$ ${\displaystyle {\widetilde {P}}\to X}$

Al mismo tiempo, la teoría de la gravitación calibre ejemplifica la teoría de campos en un haz de marcos principal cuyas simetrías calibre son transformaciones covariantes generales que no son elementos de un grupo calibre.

En la literatura física sobre teoría de calibre , un grupo estructural de un paquete principal a menudo se denomina grupo de calibre .

En la teoría de calibre cuántico , se considera un subgrupo normal de un grupo de calibre que es el estabilizador. ${\displaystyle G^{0}(X)}$ ${\displaystyle G(X)}$

${\displaystyle G^{0}(X)=\{g(x)\in G(X)\quad :\quad g(x_{0})=1\in {\widetilde {P}}_{x_{0}}\}}$

de algún punto de un paquete grupal . Se llama grupo de calibre puntiagudo . Este grupo actúa libremente sobre un espacio de conexiones principales. Obviamente, . También se introduce el grupo de calibre efectivo donde está el centro de un grupo de calibre . Este grupo actúa libremente sobre un espacio de conexiones principales irreductibles. ${\displaystyle 1\in {\widetilde {P}}_{x_{0}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {P}}\to X}$ ${\displaystyle G(X)/G^{0}(X)=G}$ ${\displaystyle {\overline {G}}(X)=G(X)/Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle G(X)}$ ${\displaystyle {\overline {G}}(X)}$

Si un grupo de estructura es un grupo de matriz semisimple complejo , se puede introducir la terminación de Sobolev de un grupo de calibre . Es un grupo de mentiras. Un punto clave es que la acción de sobre la finalización de Sobolev de un espacio de conexiones principales es suave y que un espacio de órbita es un espacio de Hilbert . Es un espacio de configuración de la teoría del calibre cuántico. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\overline {G}}_{k}(X)}$ ${\displaystyle G(X)}$ ${\displaystyle {\overline {G}}_{k}(X)}$ ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle A_{k}/{\overline {G}}_{k}(X)}$

Ver también

• Simetría de calibre (matemáticas)
• Teoría del calibre
• Teoría del calibre (matemáticas)
• paquete principal

Referencias

• Mitter, P., Viallet, C., Sobre el conjunto de conexiones y la variedad de órbita calibre en la teoría de Yang – Mills, Commun. Matemáticas. Física. 79 (1981) 457.
• Marathe, K., Martucci, G., Los fundamentos matemáticos de las teorías de calibre (Holanda Septentrional, 1992) ISBN  0-444-89708-9 .
• Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Conexiones en la teoría de campos clásica y cuántica (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8