En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Lyons Ly o el grupo de Lyons-Sims LyS es un grupo simple esporádico de orden.
Ly es uno de los 26 grupos esporádicos y fue descubierto por Richard Lyons y Charles Sims en 1972-73. Lyons caracterizó 51765179004000000 como el único orden posible de cualquier grupo finito simple donde el centralizador de alguna involución es isomorfo a la extensión central no trivial del grupo alterno A 11 de grado 11 por el grupo cíclico C 2 . Sims (1973) demostró la existencia de tal grupo y su unicidad hasta el isomorfismo con una combinación de teoría de grupos de permutación y cálculos mecánicos.
Cuando se descubrió el grupo esporádico de McLaughlin , se observó que un centralizador de una de sus involuciones era la doble cobertura perfecta del grupo alterno A 8 . Esto sugirió considerar las dobles coberturas de los otros grupos alternos An como posibles centralizadores de involuciones en grupos simples. Los casos n ≤ 7 son descartados por el teorema de Brauer-Suzuki , el caso n = 8 conduce al grupo McLaughlin, el caso n = 9 fue descartado por Zvonimir Janko , el propio Lyons descartó el caso n = 10 y encontró el Grupo de Lyon para n = 11, mientras que los casos n ≥ 12 fueron descartados por JG Thompson y Ronald Solomon .
El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismo externo son ambos triviales .
Dado que 37 y 67 no son primos supersingulares , el grupo de Lyon no puede ser un subcociente del grupo de los monstruos . Por tanto, es uno de los 6 grupos esporádicos llamados parias .
Meyer, Neutsch y Parker (1985) demostraron que el grupo de Lyons tiene una representación modular de dimensión 111 sobre el campo de cinco elementos, que es la dimensión más pequeña de cualquier representación lineal fiel y es una de las formas más fáciles de calcular con ella. También ha sido dada por varias presentaciones complicadas en términos de generadores y relaciones, por ejemplo las de Sims (1973) o Gebhardt (2000).
La representación de permutación fiel más pequeña es una representación de permutación de rango 5 en 8835156 puntos con estabilizador G 2 (5). También hay una representación de permutación de rango 5 ligeramente mayor en 9606125 puntos con estabilizador 3.McL:2.
Wilson (1985) encontró las 9 clases de conjugación de subgrupos máximos de Ly de la siguiente manera: