Expresión fundamental

Término que no contiene ninguna variable

En lógica matemática , un término fundamental de un sistema formal es un término que no contiene ninguna variable . De manera similar, una fórmula fundamental es una fórmula que no contiene ninguna variable.

En lógica de primer orden con identidad con símbolos constantes y , la oración es una fórmula fundamental. Una expresión fundamental es un término fundamental o una fórmula fundamental. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Q(a)\lor P(b)}$

Ejemplos

Considere las siguientes expresiones en lógica de primer orden sobre una firma que contiene los símbolos constantes y para los números 0 y 1, respectivamente, un símbolo de función unaria para la función sucesora y un símbolo de función binaria para la suma. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle +}$

• ${\displaystyle s(0),s(s(0)),s(s(s(0))),\ldots }$son términos básicos;
• ${\displaystyle 0+1,\;0+1+1,\ldots }$son términos básicos;
• ${\displaystyle 0+s(0),\;s(0)+s(0),\;s(0)+s(s(0))+0}$son términos básicos;
• ${\displaystyle x+s(1)}$y son términos, pero no términos básicos; ${\displaystyle s(x)}$
• ${\displaystyle s(0)=1}$y son fórmulas molidas. ${\displaystyle 0+0=0}$

Definiciones formales

Lo que sigue es una definición formal de lenguajes de primer orden . Sea un lenguaje de primer orden, con el conjunto de símbolos constantes, el conjunto de operadores funcionales y el conjunto de símbolos predicados . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$

Término básico

AEl término fundamental es untérminoque no contiene variables. Los términos fundamentales pueden definirse mediante recursión lógica (fórmula-recursión):

1. Los elementos de son términos fundamentales; ${\displaystyle C}$
2. Si es un símbolo de función -ario y son términos fundamentales, entonces es un término fundamental. ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle f\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)}$
3. Todo término fundamental puede darse mediante una aplicación finita de las dos reglas anteriores (no hay otros términos fundamentales; en particular, los predicados no pueden ser términos fundamentales).

En términos generales, el universo de Herbrand es el conjunto de todos los términos fundamentales.

Átomo fundamental

Apredicado fundamentalátomo de tierra oEl literal fundamental es unafórmula atómicacuyos términos de argumento son todos términos fundamentales.

Si es un símbolo de predicado -ario y son términos fundamentales, entonces es un predicado fundamental o un átomo fundamental. ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle p\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)}$

En términos generales, la base de Herbrand es el conjunto de todos los átomos fundamentales, ^[1] mientras que una interpretación de Herbrand asigna un valor de verdad a cada átomo fundamental en la base.

Fórmula básica

Afórmula molida oLa cláusula suelo es una fórmula sin variables.

Las fórmulas fundamentales pueden definirse mediante recursión sintáctica de la siguiente manera:

1. Un átomo fundamental es una fórmula fundamental.
2. Si y son fórmulas fundamentales, entonces , y son fórmulas fundamentales. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \lnot \varphi }$ ${\displaystyle \varphi \lor \psi }$ ${\displaystyle \varphi \land \psi }$

Las fórmulas fundamentales son un tipo particular de fórmulas cerradas .

Véase también

• Fórmula abierta  : fórmula que contiene al menos una variable librePáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Oración (lógica matemática)  : En lógica matemática, una fórmula bien formada sin variables libres.

Referencias

1. Alex Sakharov. "Átomo fundamental". MathWorld . Consultado el 20 de octubre de 2022 .

• Dalal, M. (2000), "Paradigmas de programación informática basados ​​en lógica", en Rosen, KH; Michaels, JG (eds.), Manual de matemáticas discretas y combinatorias , pág. 68
• Hodges, Wilfrid (1997), Una teoría de modelos más breve , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6
• Lógica de primer orden: sintaxis y semántica