Dimensión de Iitaka

En geometría algebraica , la dimensión de Iitaka de un fibrado de líneas L en una variedad algebraica X es la dimensión de la imagen de la función racional en el espacio proyectivo determinada por L. Esta es 1 menos que la dimensión del anillo de sección de L.

${\displaystyle R(X,L)=\bigoplus _{d=0}^{\infty }H^{0}(X,L^{\otimes d}).}$

La dimensión Iitaka de L es siempre menor o igual que la dimensión de X. Si L no es efectiva, entonces su dimensión Iitaka se define generalmente como negativa (o simplemente se dice que es negativa, en algunas referencias tempranas se la define como −1). La dimensión Iitaka de L a veces se denomina dimensión L, mientras que la dimensión de un divisor D se denomina dimensión D. La dimensión Iitaka fue introducida por Shigeru Iitaka  (1970, 1971). ${\displaystyle -\infty }$

Paquetes de líneas grandes

Un fibrado lineal es grande si tiene una dimensión Iitaka máxima, es decir, si su dimensión Iitaka es igual a la dimensión de la variedad subyacente. La grandeza es un invariante biracional : si f  : Y → X es un morfismo biracional de variedades, y si L es un fibrado lineal grande en X , entonces f ^* L es un fibrado lineal grande en Y .

Todos los paquetes de líneas amplias son grandes.

Los fibrados lineales grandes no necesitan determinar isomorfismos birracionales de X con su imagen. Por ejemplo, si C es una curva hiperelíptica (como una curva de género dos), entonces su fibrado canónico es grande, pero la función racional que determina no es un isomorfismo biracional. En cambio, es una cobertura dos a uno de la curva canónica de C , que es una curva normal racional .

Dimensión de Kodaira

La dimensión Iitaka del haz canónico de una variedad suave se denomina dimensión Kodaira .

Conjetura de Iitaka

El mapa m-pluricanónico de variedades complejas M a W induce una estructura de espacio de fibra.

Consideremos a continuación variedades algebraicas complejas.

Sea K el fibrado canónico en M. La dimensión de H ⁰ (M,K ^m ), secciones holomorfas de K ^m , se denota por P _m (M), llamado m-género . Sea

${\displaystyle N(M)=\{m\geq 1|P_{m}(M)\geq 1\},}$

Entonces N(M) pasa a ser todo entero positivo con género m distinto de cero. Cuando N(M) no está vacío, para la función m-pluricanónica se define como la función ${\displaystyle m\in N(M)}$ ${\displaystyle \Phi _{mK}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{mK}:&M\longrightarrow \ \ \ \ \ \ \mathbb {P} ^{N}\\&z\ \ \ \mapsto \ \ (\varphi _{0}(z):\varphi _{1}(z):\cdots :\varphi _{N}(z))\end{aligned}}}$

donde son las bases de H ⁰ (M,K ^m ). Entonces la imagen de , se define como la subvariedad de . ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle \Phi _{mK}}$ ${\displaystyle \Phi _{mK}(M)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$

Sea con certeza la función m-pluricanónica donde W es la variedad compleja inserta en el espacio proyectivo P ^N . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Phi _{mk}:M\rightarrow W=\Phi _{mK}(M)\subset \mathbb {P} ^{N}}$

En el caso de superficies con κ(M)=1, la W anterior se sustituye por una curva C, que es una curva elíptica (κ(C)=0). Queremos extender este hecho a la dimensión general y obtener la estructura analítica de la fibra representada en la figura superior derecha.

La función m-pluricanónica es invariante birracional. P _m (M)=P _m (W)

Dado un mapa biracional , el mapa m-pluricanónico trae el diagrama conmutativo representado en la figura de la izquierda, lo que significa que , es decir, el género m-pluricanónico es biracionalmente invariante. ${\displaystyle \varphi :M\longrightarrow W}$ ${\displaystyle \Phi _{mK}(M)=\Phi _{mK}(W)}$

La existencia de la función biracional ψ : W _m1 → W _m2 en el espacio proyectivo

Iitaka demuestra que dada una variedad compleja compacta n-dimensional M con su dimensión de Kodaira κ(M) que satisface 1 ≤ κ(M) ≤ n-1, hay suficientes m ₁ , m ₂ grandes tales que y son biracionalmente equivalentes, lo que significa que existe la función biracional . Es decir, el diagrama representado en la figura de la derecha es conmutativo. ${\displaystyle \Phi _{m_{1}K}:M\longrightarrow W_{m_{1}}(M)}$ ${\displaystyle \Phi _{m_{2}K}:M\longrightarrow W_{m_{2}}(M)}$ ${\displaystyle \varphi :W_{m_{1}}\longrightarrow W_{m_{2}}(M)}$

Además, se puede seleccionar que sea biracional con y que sea biracional con ambos y tal que ${\displaystyle M^{*}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle W^{*}}$ ${\displaystyle W_{m_{1}}}$ ${\displaystyle W_{m_{1}}}$

${\displaystyle \Phi :M^{*}\longrightarrow W^{*}}$

es un mapa biracional, las fibras de están simplemente conectadas y las fibras generales de ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle M_{w}^{*}:=\Phi ^{-1}(w),\ \ w\in W^{*}}$

tiene dimensión Kodaira 0.

La estructura de fibra anterior se llama espacio de fibra de Iitaka. En el caso de la superficie S ( n = 2 = dim(S)), W ^* es la curva algebraica, la estructura de la fibra es de dimensión 1 y, por lo tanto, las fibras generales tienen la dimensión Kodaira 0, es decir, curva elíptica. Por lo tanto, S es la superficie elíptica. Estos hechos se pueden generalizar al n general . Por lo tanto, el estudio de la geometría biracional de dimensión superior se descompone en la parte de κ = -∞, 0, n y el espacio de fibra cuyas fibras son de κ = 0.

La siguiente fórmula adicional de Iitaka, llamada conjetura de Iitaka , es importante para la clasificación de variedades algebraicas o variedades complejas compactas.

Conjetura de Iitaka  :  Sea el espacio de fibras desde la variedad m-dimensional hasta la variedad n-dimensional y cada fibra conectada. Entonces ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V_{w}=f^{-1}(w)}$

${\displaystyle \kappa (V)\geq \kappa (V_{w})+\kappa (W).}$

Esta conjetura ha sido resuelta sólo parcialmente, por ejemplo en el caso de las variedades de Moishezon . Se podría decir que la teoría de la clasificación es el esfuerzo por resolver la conjetura de Iitaka y derivar en otros teoremas que establecen que la variedad tridimensional V es abeliana si y sólo si κ(V)=0 y q(V)=3 y su generalización, etc. El programa modelo mínimo podría derivar de esta conjetura.

Referencias

• Iitaka, Shigeru (1970), "Sobre las dimensiones D de las variedades algebraicas", Proc. Japan Acad. , 46 : 487–489, doi : 10.3792/pja/1195520260 , MR  0285532
• Iitaka, Shigeru (1971), "Sobre las dimensiones D de las variedades algebraicas", J. Math. Soc. Jpn. , 23 : 356–373, doi : 10.2969/jmsj/02320356 , MR  0285531
• Ueno, Kenji (1975), Teoría de la clasificación de variedades algebraicas y espacios complejos compactos , Lecture Notes in Mathematics, vol. 439, Springer-Verlag , MR  0506253