gráfico de arrecife

Gráfica de Reeb de la función de altura sobre el toroide.

Un gráfico de Reeb ^[1] (llamado así en honor a Georges Reeb por René Thom ) es un objeto matemático que refleja la evolución de los conjuntos de niveles de una función de valor real en una variedad . ^[2] Según ^[3] GM Adelson-Velskii y AS Kronrod introdujeron un concepto similar y lo aplicaron al análisis del decimotercer problema de Hilbert . ^[4] Propuesto por G. Reeb como herramienta en la teoría Morse , ^[5] Los gráficos de Reeb son la herramienta natural para estudiar relaciones funcionales multivaluadas entre campos escalares 2D , y que surgen de las condiciones y , porque estas relaciones son de un solo valor cuando restringido a una región asociada con un borde individual del gráfico de Reeb. Este principio general se utilizó por primera vez para estudiar superficies neutras en oceanografía . ^[6] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \nabla \psi =\lambda \nabla \phi }$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$

Los gráficos de Reeb también han encontrado una amplia variedad de aplicaciones en geometría computacional y gráficos por computadora , ^{[1] [7],} incluido el diseño geométrico asistido por computadora , coincidencia de formas basada en topología , ^{[8] [9] [10]} análisis de datos topológicos , ^{[11 ]} simplificación y limpieza topológica, segmentación de superficies ^[12] y parametrización, cálculo eficiente de conjuntos de niveles, neurociencia , ^[13] y termodinámica geométrica . ^[3] En un caso especial de una función en un espacio plano (técnicamente un dominio simplemente conexo), el gráfico de Reeb forma un poliárbol y también se llama árbol de contorno . ^[14]

Los gráficos de conjuntos de niveles ayudan a la inferencia estadística relacionada con la estimación de funciones de densidad de probabilidad y funciones de regresión , y se pueden utilizar en análisis de conglomerados y optimización de funciones , entre otras cosas. ^[15]

Definicion formal

Dado un espacio topológico X y una función continua f :  X  →  R , defina una relación de equivalencia ~ en X donde p ~ q siempre que p y q pertenezcan al mismo componente conectado de un conjunto de un solo nivel f ⁻¹ ( c ) para algún real C . El gráfico de Reeb es el espacio cociente X  /~ dotado de la topología del cociente .

Generalmente, este espacio cociente no tiene la estructura de un gráfico finito. Incluso para una función suave en una variedad suave, el gráfico de Reeb puede no ser un espacio unidimensional e incluso no de Hausdorff . ^[dieciséis]

De hecho, la compacidad de la variedad es crucial: la gráfica de Reeb de una función suave en una variedad cerrada es un continuo de Peano unidimensional que es homotópicamente equivalente a una gráfica finita. ^[16] En particular, la gráfica de Reeb de una función suave sobre una variedad cerrada con un número finito de valores críticos –que es el caso de las funciones Morse , funciones Morse-Bott o funciones con puntos críticos aislados– tiene la estructura de una función finita. grafico. ^[17]

Estructura del gráfico de Reeb definida por una función suave

Sea una función suave en una variedad cerrada . La estructura del gráfico de Reeb depende tanto de la variedad como de la clase de la función . ${\displaystyle f:M\to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R_{f}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$

El primer número de Betti del gráfico de Reeb.

Dado que para una función suave en una variedad cerrada, el gráfico de Reeb es unidimensional ^[16] , consideramos solo su primer número de Betti ; si tiene la estructura de un gráfico finito, entonces es el rango de ciclo de este gráfico. Un límite superior cumple ^{[18] [16]} ${\displaystyle R_{f}}$ ${\displaystyle b_{1}(R_{f})}$ ${\displaystyle R_{f}}$ ${\displaystyle b_{1}(R_{f})}$

${\displaystyle b_{1}(R_{f})\leq corank(\pi _{1}(M))}$,

¿Dónde está el co-rango del grupo fundamental de la variedad? Si , este límite es estrecho incluso en la clase de funciones Morse simples ^[19] . ${\displaystyle corank(\pi _{1}(M))}$ ${\displaystyle \dim M\geq 3}$

Si , para funciones suaves este límite también es ajustado, y en términos del género de la superficie el límite se puede reescribir como ${\displaystyle \dim M=2}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M^{2}}$ $${\displaystyle b_{1}(R_{f})\leq {\begin{cases}g,&{\text{if }}M^{2}{\text{ is orientable }}\\g/2,&{\text{if }}M^{2}{\text{ is non-orientable }}.\end{cases}}}$$

Si , para las funciones Morse , existe un mejor límite para el rango del ciclo. Dado que para las funciones de Morse , el gráfico de Reeb es un gráfico finito ^[17] , lo denotamos por el número de vértices con grado 2 en . Entonces ^[20] ${\displaystyle \dim M=2}$ ${\displaystyle R_{f}}$ ${\displaystyle N_{2}}$ ${\displaystyle R_{f}}$ $${\displaystyle b_{1}(R_{f})\leq {\begin{cases}g-N_{2},&{\text{if }}M^{2}{\text{ is orientable }}\\(g-N_{2})/2,&{\text{if }}M^{2}{\text{ is non-orientable }}.\end{cases}}}$$

Bloques de hojas del gráfico de Reeb

Si es una función Morse o Morse-Bott en una variedad cerrada , entonces su gráfico de Reeb tiene la estructura o un gráfico finito ^[17] . Este gráfico finito tiene una estructura específica, a saber ${\displaystyle f:M\to R}$ ${\displaystyle R_{f}}$

• Si es Morse , entonces no tiene bucles y todos sus bloques de hojas son gráficos completos , es decir, intervalos cerrados ^[21] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R_{f}}$ ${\displaystyle K_{2}}$
• Si es Morse-Bott , entonces no tiene bucles y cada bloque de hojas contiene un vértice con grado como máximo 2 ^[22] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R_{f}}$

Descripción de funciones Morse

Si es una función Morse con valores críticos distintos , el gráfico de Reeb se puede describir de manera más explícita. Sus nodos, o vértices, corresponden a los conjuntos de niveles críticos . El patrón en el que los arcos o aristas se encuentran en los nodos/vértices refleja el cambio en la topología del nivel establecido a medida que pasa por el valor crítico . Por ejemplo, si es un mínimo o un máximo de , se crea o destruye un componente; en consecuencia, un arco se origina o termina en el nodo correspondiente, que tiene grado 1. Si hay un punto de silla de índice 1 y dos componentes de fusión en aumentan , el vértice correspondiente del gráfico de Reeb tiene grado 3 y se parece a la letra " Y". El mismo razonamiento se aplica si el índice de es y un componente de se divide en dos. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(c)}$ ${\displaystyle f^{-1}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f^{-1}(t)}$ ${\displaystyle t=c}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle dimX-1}$ ${\displaystyle f^{-1}(c)}$

Referencias

1. Y. Shinagawa, TL Kunii y YL Kergosien, 1991. Codificación de superficies basada en la teoría Morse. Aplicaciones y gráficos por computadora IEEE, 11 (5), páginas 66-78
2. Harish Doraiswamy, Vijay Natarajan, Algoritmos eficientes para calcular gráficos de Reeb, Computational Geometry 42 (2009) 606–616
3. Gorban, Alexander N. (2013). "Árbol termodinámico: el espacio de caminos admisibles". Revista SIAM de Sistemas Dinámicos Aplicados . 12 (1): 246–278. arXiv : 1201.6315 . doi :10.1137/120866919. S2CID  5706376.
4. GM Adelson-Velskii, AS Kronrod, Acerca de conjuntos de niveles de funciones continuas con derivadas parciales, Dokl. Akád. Nauk SSSR, 49 (4) (1945), págs.
5. G. Reeb, Sur les pointes singulares d'une forme de Pfaff complètement intégrable ou d'une fonction numérique, CR Acad. Ciencia. París 222 (1946) 847–849
6. Stanley, Geoffrey J. (junio de 2019). "Topología de superficie neutra". Modelado oceánico . 138 : 88-106. arXiv : 1903.10091 . Código Bib : 2019OcMod.138...88S. doi :10.1016/j.ocemod.2019.01.008. S2CID  85502820.
7. Y. Shinagawa y TL Kunii, 1991. Construcción automática de un gráfico de Reeb a partir de secciones transversales. Aplicaciones y gráficos por computadora IEEE, 11 (6), páginas 44-51.
8. Pascucci, Valerio; Scorzelli, Giorgio; Bremer, Peer-Timo; Mascarenhas, Ajith (2007). "Cálculo robusto en línea de gráficos Reeb: simplicidad y velocidad" (PDF) . Transacciones ACM sobre gráficos . 26 (3): 58,1–58,9. doi :10.1145/1276377.1276449.
9. M. Hilaga, Y. Shinagawa, T. Kohmura y TL Kunii, agosto de 2001. Coincidencia de topología para una estimación de similitud totalmente automática de formas 3D. En Actas de la 28ª conferencia anual sobre gráficos por computadora y técnicas interactivas (págs. 203-212). ACM.
10. Tung, Tony; Schmitt, Francisco (2005). "El enfoque de gráfico Reeb multiresolución aumentado para la recuperación de formas 3D basada en contenido". Revista internacional de modelado de formas . 11 (1): 91-120. doi :10.1142/S0218654305000748.
11. "el kit de herramientas de topología".
12. Hajij, Mustafa; Rosen, Paul (2020). "Un algoritmo de gráfico Reeb paralelo de recuperación de datos eficiente". Algoritmos . 13 (10): 258. arXiv : 1810.08310 . doi : 10.3390/a13100258 .
13. Shailja, S; Zhang, Ángela; Manjunath, BS (2021). "Un enfoque de geometría computacional para modelar vías de fibras neuronales". Computación de imágenes médicas e intervención asistida por computadora - MICCAI 2021. Apuntes de conferencias en informática . Apuntes de conferencias sobre informática. 12908 : 175–185. doi :10.1007/978-3-030-87237-3_17. ISBN 978-3-030-87236-6. PMC  8560085 . PMID  34729555.
14. Carr, Hamish; Snoeyink, Jack; Axen, Ulrike (2000), "Cálculo de árboles de contorno en todas las dimensiones", Proc. XI Simposio ACM-SIAM sobre algoritmos discretos (SODA 2000), págs. 918–926, ISBN 9780898714531.
15. Klemelä, Jussi (2018). "Métodos de árbol de conjuntos de niveles". Revisiones interdisciplinarias de Wiley: estadística computacional . 10 (5): e1436. doi :10.1002/wics.1436. S2CID  58864566.
16. I. Gelbukh, 2024. Sobre la topología del gráfico de Reeb. Publicaciones Mathematicae Debrecen, 104(3-4), páginas 343-365
17. O. Saeki, 2022. Espacios Reeb de funciones suaves en variedades. En t. Matemáticas. Res. No., 11, págs.8740-8768
18. I. Gelbukh, 2018. Bucles en gráficos Reeb de n-colectores. Geometría discreta y computacional, 59 (4), páginas 843-863
19. LP Michalak, 2021. Modificaciones combinatorias de gráficos Reeb y el problema de realización. Geometría discreta y computacional, 65, páginas 1038-1060
20. LP Michalak, 2018. Realización de una gráfica como la gráfica de Reeb de una función Morse en una variedad. Métodos topológicos en análisis no lineal, 52 (2), páginas 749-762
21. I. Gelbukh, 2022. Criterio para que un gráfico admita una buena orientación en términos de bloques de hojas. Monatshefte für Mathematik, 198, páginas 61-77
22. I. Gelbukh, 2022. Realización de un gráfico como gráfico Reeb de un Morse-Bott o una función redonda. Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 59(1), págs.1-16