En el campo matemático de la teoría de grafos , el gráfico de Möbius-Kantor es un gráfico cúbico bipartito simétrico con 16 vértices y 24 aristas que lleva el nombre de August Ferdinand Möbius y Seligmann Kantor . Se puede definir como el gráfico de Petersen generalizado G (8,3): es decir, está formado por los vértices de un octágono , conectados a los vértices de una estrella de ocho puntas en la que cada punta de la estrella está conectada a la apunta a tres pasos de él.
Möbius (1828) preguntó si existe un par de polígonos con p lados cada uno, que tengan la propiedad de que los vértices de un polígono se encuentran en las líneas que pasan por los bordes del otro polígono, y viceversa. De ser así, los vértices y aristas de estos polígonos formarían una configuración proyectiva . Para p = 4 no hay solución en el plano euclidiano , pero Kantor (1882) encontró pares de polígonos de este tipo, para una generalización del problema en el que los puntos y aristas pertenecen al plano proyectivo complejo . Es decir, en la solución de Kantor, las coordenadas de los vértices del polígono son números complejos . La solución de Kantor para p = 4, un par de cuadriláteros inscritos mutuamente en el plano proyectivo complejo, se llama configuración de Möbius-Kantor . El gráfico de Möbius-Kantor deriva su nombre de ser el gráfico de Levi de la configuración de Möbius-Kantor. Tiene un vértice por punto y un vértice por triplete, con una arista que conecta dos vértices si corresponden a un punto y a un triplete que contiene ese punto.
La configuración también se puede describir algebraicamente en términos del grupo abeliano con nueve elementos. Este grupo tiene cuatro subgrupos de orden tres (los subconjuntos de elementos de la forma , , y ), cada uno de los cuales se puede utilizar para dividir los nueve elementos del grupo en tres clases laterales de tres elementos por clase lateral. Estos nueve elementos y doce clases laterales forman una configuración, la configuración de Hesse . La eliminación del elemento cero y las cuatro clases laterales que contienen cero da lugar a la configuración de Möbius-Kantor.
El gráfico de Möbius-Kantor es un subgrafo del gráfico de hipercubo de cuatro dimensiones , formado eliminando ocho aristas del hipercubo. [1] Dado que el hipercubo es un gráfico de distancia unitaria , el gráfico de Möbius-Kantor también se puede dibujar en el plano con todas las aristas de longitud unitaria, aunque dicho dibujo necesariamente tendrá algunos pares de aristas que se cruzan.
El gráfico de Möbius-Kantor también aparece muchas veces como un subgrafo inducido del gráfico de Hoffman-Singleton . Cada uno de estos casos es, de hecho, un vector propio del gráfico de Hoffman-Singleton, con un valor propio asociado -3. Cada vértice que no está en el gráfico de Möbius-Kantor inducido es adyacente a exactamente cuatro vértices en el gráfico de Möbius-Kantor, dos cada uno en la mitad de una bipartición del gráfico de Möbius-Kantor.
El gráfico de Möbius-Kantor no se puede incrustar sin cruces en el plano; tiene el número de cruce 4 y es el gráfico cúbico más pequeño con ese número de cruce. [2] Además, proporciona un ejemplo de un gráfico cuyos números de cruce de subgráficos difieren de él en dos o más. [3] Sin embargo, es un gráfico toroidal : tiene una incrustación en el toro en el que todas las caras son hexágonos . [4] El gráfico dual de esta incrustación es el gráfico hiperoctaédrico K 2,2,2,2 .
Hay una incrustación aún más simétrica del gráfico de Möbius-Kantor en el doble toro , que es un mapa regular , con seis caras octogonales , en el que las 96 simetrías del gráfico se pueden realizar como simetrías de la incrustación [5] Sus 96 elementos El grupo de simetría tiene un gráfico de Cayley que a su vez puede incrustarse en el doble toro, y Tucker (1984) demostró que es el único grupo con género dos. El gráfico de Cayley en 96 vértices es un gráfico de bandera del mapa regular del género 2 que tiene el gráfico de Möbius-Kantor como esqueleto. Esto significa que se puede obtener del mapa regular como un esqueleto del dual de su subdivisión baricéntrica. Una escultura de DeWitt Godfrey y Duane Martinez que muestra la incrustación de doble toro de las simetrías del gráfico de Möbius-Kantor se inauguró en el Museo Técnico de Eslovenia como parte de la VI Conferencia Internacional Eslovena sobre Teoría de Grafos en 2007. En 2013, se presentó una versión rotativa de La escultura fue inaugurada en la Universidad de Colgate .
El gráfico de Möbius-Kantor admite una incrustación en un toro triple (toro de género 3) que es un mapa regular que tiene cuatro caras de 12 gonales, y es el dual de Petrie de la incrustación de doble toro descrita anteriormente. [4]
Lijnen y Ceulemans (2004), motivados por una investigación de posibles estructuras químicas de compuestos de carbono, estudiaron la familia de todas las incrustaciones del gráfico de Möbius-Kantor en 2 variedades ; demostraron que hay 759 incrustaciones no equivalentes. La incrustación del género 1, que no es un mapa normal, se ve en el diagrama anterior.
El grupo de automorfismos del gráfico de Möbius-Kantor es un grupo de orden 96. [4] Actúa transitivamente sobre los vértices, las aristas y los arcos del gráfico. Por tanto, el gráfico de Möbius-Kantor es un gráfico simétrico . Tiene automorfismos que llevan cualquier vértice a cualquier otro vértice y cualquier arista a cualquier otra arista. Según el censo de Foster , el gráfico de Möbius-Kantor es el único gráfico simétrico cúbico con 16 vértices y el gráfico simétrico cúbico más pequeño que no es transitivo en distancia . [6] El gráfico de Möbius-Kantor es también un gráfico de Cayley .
El gráfico de Petersen generalizado G ( n,k ) es transitivo de vértice si y solo si n = 10 y k =2 o si k 2 ≡ ±1 (mod n ) y es transitivo de borde solo en los siguientes siete casos: ( n ,k ) = (4,1), (5,2), (8,3), (10,2), (10,3), (12,5) o (24,5). [7] Entonces, el gráfico de Möbius-Kantor es uno de los siete gráficos simétricos de Petersen generalizados. Su incrustación simétrica de doble toro es, correspondientemente, uno de los siete mapas cúbicos regulares en los que el número total de vértices es el doble del número de vértices por cara. [8] Entre los siete gráficos simétricos generalizados de Petersen se encuentran el gráfico cúbico , el gráfico de Petersen , el gráfico dodecaédrico , el gráfico de Desargues y el gráfico de Nauru .
El polinomio característico del gráfico de Möbius-Kantor es igual a
La gráfica de Möbius-Kantor es una doble cobertura de la gráfica del cubo. [1]
