Progresión geométrica

Secuencia matemática de números

Diagrama que ilustra tres secuencias geométricas básicas del patrón 1( r ^{n −1} ) hasta 6 iteraciones de profundidad. El primer bloque es un bloque unitario y la línea discontinua representa la suma infinita de la secuencia, un número al que se acercará siempre pero que nunca tocará: 2, 3/2 y 4/3 respectivamente.

Una progresión geométrica , también conocida como secuencia geométrica , es una secuencia matemática de números distintos de cero en la que cada término después del primero se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón común . Por ejemplo, la secuencia 2, 6, 18, 54, ... es una progresión geométrica con una razón común de 3. De manera similar, 10, 5, 2,5, 1,25, ... es una secuencia geométrica con una razón común de 1/2.

Ejemplos de una secuencia geométrica son las potencias r ^k de un número fijo distinto de cero r , como 2 k y 3 ^k . La forma general de una secuencia geométrica es

${\displaystyle a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots }$

donde r es la razón común y a es el valor inicial.

La suma de los términos de una progresión geométrica se llama serie geométrica .

Propiedades

El término n- ésimo de una secuencia geométrica con valor inicial a = a ₁ y razón común r está dado por

${\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1},}$

y en general

${\displaystyle a_{n}=a_{m}\,r^{n-m}.}$

Las secuencias geométricas satisfacen la relación de recurrencia lineal

${\displaystyle a_{n}=r\,a_{n-1}}$para cada entero ${\displaystyle n>1.}$

Se trata de una recurrencia lineal homogénea de primer orden con coeficientes constantes .

Las secuencias geométricas también satisfacen la relación de recurrencia no lineal

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}^{2}/a_{n-2}}$para cada entero ${\displaystyle n>2.}$

Se trata de una recurrencia no lineal de segundo orden con coeficientes constantes.

Cuando la razón común de una sucesión geométrica es positiva, todos los términos de la sucesión compartirán el signo del primer término. Cuando la razón común de una sucesión geométrica es negativa, los términos de la sucesión alternan entre positivos y negativos; esto se llama sucesión alternada. Por ejemplo, la sucesión 1, −3, 9, −27, 81, −243, ... es una sucesión geométrica alternada con un valor inicial de 1 y una razón común de −3. Cuando el término inicial y la razón común son números complejos, los argumentos complejos de los términos siguen una progresión aritmética .

Si el valor absoluto de la razón común es menor que 1, los términos disminuirán en magnitud y se acercarán a cero mediante un decaimiento exponencial . Si el valor absoluto de la razón común es mayor que 1, los términos aumentarán en magnitud y se acercarán al infinito mediante un crecimiento exponencial . Si el valor absoluto de la razón común es igual a 1, los términos mantendrán el mismo tamaño indefinidamente, aunque sus signos o argumentos complejos puedan cambiar.

Las progresiones geométricas muestran un crecimiento exponencial o una disminución exponencial, a diferencia de las progresiones aritméticas que muestran un crecimiento o una disminución lineal. Esta comparación fue tomada por TR Malthus como la base matemática de su Ensayo sobre el principio de población . Los dos tipos de progresión están relacionados a través de la función exponencial y el logaritmo : exponenciar cada término de una progresión aritmética produce una progresión geométrica, mientras que tomar el logaritmo de cada término en una progresión geométrica produce una progresión aritmética.

Serie geométrica

Demostración sin palabras de la fórmula para la suma de una serie geométrica: si | r | < 1 y n → ∞, el término r ^{n se anula, quedando} S _∞ = ⁠a/1 − r⁠

La serie geométrica 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... se muestra como áreas de cuadrados violetas. Cada uno de los cuadrados violetas tiene 1/4 del área del cuadrado siguiente más grande (1/2× 1/2 = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16, etc.). La suma de las áreas de los cuadrados violetas es un tercio del área del cuadrado grande.

Otra serie geométrica (coeficiente a = 4/9 y razón común r = 1/9) representada como áreas de cuadrados violetas. El área violeta total es S = a / (1 - r ) = (4/9) / (1 - (1/9)) = 1/2, lo que se puede confirmar observando que el cuadrado unitario está dividido en un número infinito de áreas en forma de L, cada una con cuatro cuadrados violetas y cuatro cuadrados amarillos, que es la mitad violeta.

En matemáticas , una serie geométrica es una serie en la que la razón de los términos adyacentes sucesivos es constante. En otras palabras, la suma de los términos consecutivos de una secuencia geométrica forma una serie geométrica. Por lo tanto, cada término es la media geométrica de sus dos términos vecinos, de manera similar a cómo los términos de una serie aritmética son las medias aritméticas de sus dos términos vecinos.

Las series geométricas se han estudiado en matemáticas al menos desde la época de Euclides en su obra Elementos , que exploró las proporciones geométricas. ^[1] Arquímedes avanzó aún más en el estudio a través de su trabajo sobre sumas infinitas , particularmente en el cálculo de áreas y volúmenes de formas geométricas (por ejemplo, calculando el área dentro de una parábola ). ^{[2] [3]} En el desarrollo temprano del cálculo moderno , fueron ejemplos paradigmáticos tanto de series convergentes como de series divergentes y, por lo tanto, llegaron a ser referencias cruciales para las investigaciones de convergencia, por ejemplo, en la prueba de razón y la prueba de raíz para convergencia ^{[4] [5]} y en las definiciones de tasas de convergencia . ^[6] Las series geométricas han servido además como prototipos en el estudio de objetos matemáticos como la serie de Taylor , ^{[4] [5]} funciones generadoras , ^[7] y teorías de perturbación . ^[8]

Las series geométricas se han aplicado para modelar una amplia variedad de fenómenos naturales y sociales, como la expansión del universo , donde la razón común entre términos está definida por la constante de Hubble , la desintegración de átomos radiactivos de carbono-14, donde la razón común entre términos está definida por la vida media del carbono-14 , las probabilidades de ganar en juegos de azar , donde la razón común podría determinarse por las probabilidades de una ruleta , y los valores económicos de las inversiones , donde la razón común podría determinarse por una combinación de tasas de inflación y tasas de interés .

En general, una serie geométrica se escribe como , donde es el término inicial y es la razón común entre términos adyacentes. ^{[4] [5]} Por ejemplo, la serie ${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots }$

es geométrico porque cada término sucesivo se puede obtener multiplicando el término anterior por . ${\displaystyle 1/2}$

Las series geométricas truncadas se denominan "series geométricas finitas" en ciertas ramas de las matemáticas, especialmente en el cálculo del siglo XIX y en probabilidad y estadística y sus aplicaciones. ${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots +ar^{n}}$

La expresión estándar en notación sigma mayúscula ^{[9] [10]} para la serie geométrica infinita es

${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots =\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}}$

y la expresión correspondiente para la serie geométrica finita es

${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}.}$

Cualquier serie geométrica finita tiene como suma , y cuando la serie infinita converge al valor límite . ${\displaystyle a(1-r^{n+1})/(1-r)}$ ${\displaystyle |r|<1}$ ${\displaystyle a/(1-r)}$

Aunque las series geométricas se encuentran y aplican más comúnmente con los números reales o complejos para y , también hay resultados y aplicaciones importantes para series geométricas con valores matriciales , series geométricas con valores de funciones , series geométricas de números p-ádicos , ^[11] y, de manera más general, series geométricas de elementos de campos algebraicos abstractos , anillos y semianillos . ^[12] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$

Producto

El producto infinito de una progresión geométrica es el producto de todos sus términos. El producto parcial de una progresión geométrica hasta el término con potencia es ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}ar^{(k)}=a^{n+1}r^{n(n+1)/2}.}$$

Cuando y son números reales positivos, esto es equivalente a tomar la media geométrica del primer y último término individual de la progresión parcial y luego elevar esa media a la potencia dada por el número de términos. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n+1.}$

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}ar^{k}=a^{n+1}r^{n(n+1)/2}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}{\text{ for }}a\geq 0,r\geq 0.}$$

Esto corresponde a una propiedad similar de las sumas de términos de una secuencia aritmética finita : la suma de una secuencia aritmética es el número de términos multiplicado por la media aritmética del primer y el último término individual. Esta correspondencia sigue el patrón habitual de que cualquier secuencia aritmética es una secuencia de logaritmos de términos de una secuencia geométrica y cualquier secuencia geométrica es una secuencia de exponenciaciones de términos de una secuencia aritmética. Las sumas de logaritmos corresponden a productos de valores exponenciados.

Prueba

Sea el producto de la potencia . Escrito en su totalidad, ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle P_{n}=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}}$.

Realizando las multiplicaciones y agrupando términos semejantes,

${\displaystyle P_{n}=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}}$.

El exponente de r es la suma de una sucesión aritmética. Sustituyendo la fórmula para esa suma,

${\displaystyle P_{n}=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}}$,

lo que concluye la prueba.

Se puede reorganizar esta expresión para

${\displaystyle P_{n}=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}.}$

Reescribiendo a como y r como si esto no fuera válido para o ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {a^{2}}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {r^{2}}}}$ ${\displaystyle a<0}$ ${\displaystyle r<0,}$

${\displaystyle P_{n}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}{\text{ for }}a\geq 0,r\geq 0}$

cual es la fórmula en términos de la media geométrica.

Historia

Una tablilla de arcilla del Período Dinástico Temprano en Mesopotamia (c. 2900 – c. 2350 a. C.), identificada como MS 3047, contiene una progresión geométrica con base 3 y multiplicador 1/2. Se ha sugerido que es sumeria , de la ciudad de Shuruppak . Es el único registro conocido de una progresión geométrica anterior a la época de las matemáticas babilónicas antiguas , que comenzó en el año 2000 a. C. ^[13]

Los libros VIII y IX de los Elementos de Euclides analizan progresiones geométricas (como las potencias de dos , véase el artículo para más detalles) y dan varias de sus propiedades. ^[14]

Véase también

• Progresión aritmética  : secuencia de números igualmente espaciados
• Sucesión aritmético-geométrica  : Sucesión matemática que satisface un patrón específico.
• Ecuación diferencial lineal  – Relación en álgebraPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Función exponencial  : función matemática, denotada exp(x) o e^x
• Progresión armónica  : progresión formada al tomar los recíprocos de una progresión aritmética.
• Serie armónica  : suma divergente de todas las fracciones unitarias positivas
• Serie infinita  – Suma infinita
• Número preferido  : pautas estándar para elegir las dimensiones exactas del producto dentro de un conjunto determinado de restricciones
• Thomas Robert Malthus  – Economista político británico (1766–1834)
• Distribución geométrica  – Distribución de probabilidad

Referencias

1. Euclides; JL Heiberg (2007). Elementos de geometría de Euclides (PDF) . Traducido por Richard Fitzpatrick. Richard Fitzpatrick. pp. 4, 277. ISBN 978-0615179841. Archivado (PDF) del original el 11 de agosto de 2013.
2. Swain, Gordon; Dence, Thomas (1998). "Revisión de la cuadratura de la parábola de Arquímedes". Revista de Matemáticas . 71 (2): 123–130. doi :10.2307/2691014. ISSN  0025-570X. JSTOR  2691014.
3. Russo, Lucio (2004). La revolución olvidada . Traducido por Levy, Silvio. Alemania: Springer-Verlag. pp. 49–52. ISBN 978-3-540-20396-4.
4. Spivak, Michael (2008). Cálculo (4.ª ed.). Houston, TX, EE. UU.: Publish or Perish, Inc., págs. 473–478. ISBN 978-0-914098-91-1.
5. Apostol, Tom M. (1967). Cálculo . Vol. 1 (2.ª ed.). EE. UU.: John Wiley & Sons. págs. 388–390, 399–401. ISBN 0-471-00005-1.
6. Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (1999). Optimización numérica (1.ª ed.). Nueva York, NY: Springer. pp. 28-29. ISBN 978-0-387-98793-4.
7. Wilf, Herbert S. (1990). Generatingfunctionology . San Diego, CA, EE. UU.: Academic Press. págs. 27-28, 32, 45, 49. ISBN 978-1-48-324857-8.
8. Bender, Carl M.; Orszag, Steven A. (1999). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros: métodos asintóticos y teoría de perturbaciones . Springer Science+Business Media. págs. 368–371. ISBN 978-0-387-98931-0.
9. Riddle, Douglas F. Cálculo y geometría analítica, segunda edición Belmont, California, Wadsworth Publishing, pág. 566, 1970.
10. Apostol, Tom M. (1967). Cálculo . Vol. 1 (2.ª ed.). Estados Unidos: John Wiley & Sons. pág. 37. ISBN. 0-471-00005-1.
11. Robert, Alain M. (2000). Un curso de análisis p-ádico . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 198. Nueva York, NY, EE. UU.: Springer-Verlag. pp. 3-4, 12-17. ISBN. 978-0387-98669-2.
12. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). Hoboken, NJ, EE. UU.: John Wiley and Sons. pág. 238. ISBN 978-0-471-43334-7.
13. Friberg, Jöran (2007). "MS 3047: Un antiguo texto sumerio de tablas metro-matemáticas". En Friberg, Jöran (ed.). Una notable colección de textos matemáticos babilónicos . Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas. Nueva York: Springer. pp. 150–153. doi :10.1007/978-0-387-48977-3. ISBN 978-0-387-34543-7.Señor 2333050  .
14. Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los elementos de Euclides (2.ª ed. [Facsímil. Publicación original: Cambridge University Press, 1925] ed.). Nueva York: Dover Publications.

• Hall & Knight, Álgebra superior , pág. 39, ISBN 81-8116-000-2 

Enlaces externos

• "Progresión geométrica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Derivación de fórmulas para la suma de progresiones geométricas finitas e infinitas en Mathalino.com
• Calculadora de progresión geométrica Archivado el 27 de diciembre de 2008 en Wayback Machine
• Buena demostración de una progresión geométrica en sputsoft.com
• Weisstein, Eric W. "Series geométricas". MathWorld .