Generalización universal

En lógica de predicados , la generalización (también generalización universal , introducción universal , ^{[1] [2] [3]} GEN , UG ) es una regla de inferencia válida . Afirma que si se ha derivado, entonces se puede derivar. ${\displaystyle \vdash \!P(x)}$ ${\displaystyle \vdash \!\forall x\,P(x)}$

Generalización con hipótesis.

La regla de generalización completa permite hipótesis a la izquierda del torniquete , pero con restricciones. Supongamos que es un conjunto de fórmulas, una fórmula y que se ha derivado. La regla de generalización establece que se puede derivar si no se menciona ni ocurre en . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Gamma \vdash \varphi (y)}$ ${\displaystyle \Gamma \vdash \forall x\,\varphi (x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$

Estas restricciones son necesarias para la solidez. Sin la primera restricción, se podría concluir de la hipótesis . Sin la segunda restricción, se podría hacer la siguiente deducción: ${\displaystyle \forall xP(x)}$ ${\displaystyle P(y)}$

1. ${\displaystyle \exists z\,\exists w\,(z\not =w)}$(Hipótesis)
2. ${\displaystyle \exists w\,(y\not =w)}$(Creación de instancias existenciales)
3. ${\displaystyle y\not =x}$(Creación de instancias existenciales)
4. ${\displaystyle \forall x\,(x\not =x)}$(Generalización universal defectuosa)

Esto pretende mostrar lo que es una deducción errónea. Tenga en cuenta que está permitido si no se menciona en (no es necesario aplicar la segunda restricción, ya que la estructura semántica de no cambia mediante la sustitución de ninguna variable). ${\displaystyle \exists z\,\exists w\,(z\not =w)\vdash \forall x\,(x\not =x),}$ ${\displaystyle \Gamma \vdash \forall y\,\varphi (y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \varphi (y)}$

Ejemplo de prueba

Demuestre: es derivable de y . ${\displaystyle \forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))\rightarrow (\forall x\,P(x)\rightarrow \forall x\,Q(x))}$ ${\displaystyle \forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))}$ ${\displaystyle \forall x\,P(x)}$

Prueba:

En esta prueba, se utilizó la generalización universal en el paso 8. El teorema de deducción fue aplicable en los pasos 10 y 11 porque las fórmulas que se mueven no tienen variables libres.

Ver también

• Lógica de primer orden
• Generalización apresurada
• Creación de instancias universales

Referencias

1. Copi y Cohen
2. Hurley
3. Moore y Parker