Gavilla localmente constante

teoría de la gavilla

En topología algebraica , un haz localmente constante en un espacio topológico X es un haz en X tal que para cada x en X , hay una vecindad abierta U de x tal que la restricción es un haz constante en U. También se le llama sistema local . Cuando X es un espacio estratificado , una gavilla construible es aproximadamente una gavilla que es localmente constante en cada miembro de la estratificación. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$

Un ejemplo básico es el haz de orientación en una variedad, ya que cada punto de la variedad admite una vecindad abierta orientable (mientras que la variedad misma puede no ser orientable).

Para otro ejemplo, sea , el haz de funciones holomorfas en X y dado por . Entonces el núcleo de P es una gavilla localmente constante pero no constante allí (ya que no tiene una sección global distinta de cero). ^[1] ${\displaystyle X=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle P:{\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle P=z{\partial \over \partial z}-{1 \over 2}}$ ${\displaystyle X-\{0\}}$

Si es un haz de conjuntos localmente constante en un espacio X , entonces cada camino en X determina una biyección. Además, dos caminos homotópicos determinan la misma biyección. Por tanto, existe el functor bien definido ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle p:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p(0)}{\overset {\sim }{\to }}{\mathcal {F}}_{p(1)}.}$

${\displaystyle \Pi _{1}X\to \mathbf {Set} ,\,x\mapsto {\mathcal {F}}_{x}}$

donde está el grupoide fundamental de X : la categoría cuyos objetos son puntos de X y cuyos morfismos son clases de caminos de homotopía. Además, si X está conectado por ruta , conectado localmente por ruta y simplemente semilocalmente conectado (por lo que X tiene una cobertura universal ), entonces cada funtor tiene la forma anterior; es decir, la categoría del functor es equivalente a la categoría de gavillas localmente constantes en X. ${\displaystyle \Pi _{1}X}$ ${\displaystyle \Pi _{1}X\to \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle \mathbf {Fct} (\Pi _{1}X,\mathbf {Set} )}$

Si X está localmente conectado , la conjunción entre la categoría de prehaces y haces se restringe a una equivalencia entre la categoría de haces localmente constantes y la categoría de espacios de cobertura de X. ^{[2] [3]}

Referencias

1. Kashiwara y Schapira 2002, ejemplo 2.9.14.
2. Szamuely, Tamás (2009). "Grupos fundamentales en topología". Grupos de Galois y Grupos Fundamentales. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 57.ISBN​ 9780511627064.
3. Mac Lane, Saunders (1992). "Gavillas de conjuntos". Gavillas en geometría y lógica: una primera introducción a la teoría del topos. Ieke Moerdijk. Nueva York: Springer-Verlag. pag. 104.ISBN​ 0-387-97710-4. OCLC  24428855.

• Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2002). Gavillas en colectores. vol. 292. Berlín: Springer. doi :10.1007/978-3-662-02661-8. ISBN 978-3-662-02661-8.
• Lurie's, J. "§ A.1. de Álgebra superior (Última actualización: septiembre de 2017)" (PDF) .

enlaces externos

• Gavilla localmente constante en el laboratorio n .
• https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/11/locally_constant_sheaves.html (recomendado)