Distribución normal compleja

Distribución estadística de variables aleatorias complejas.

En teoría de la probabilidad , la familia de distribuciones normales complejas , denotada o , caracteriza variables aleatorias complejas cuyas partes real e imaginaria son conjuntamente normales . ^[1] La familia normal compleja tiene tres parámetros: parámetro de ubicación μ , matriz de covarianza y matriz de relación . La normal compleja estándar es la distribución univariada con , y . ${\displaystyle {\mathcal {CN}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \Gamma =1}$ ${\displaystyle C=0}$

Una subclase importante de la familia de normales complejas se llama normal compleja circularmente simétrica (central) y corresponde al caso de matriz de relación cero y media cero: y . ^[2] Este caso se utiliza ampliamente en el procesamiento de señales , donde a veces se lo denomina simplemente normal complejo en la literatura. ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle C=0}$

Definiciones

Variable aleatoria normal estándar compleja

La variable aleatoria normal compleja estándar o variable aleatoria gaussiana compleja estándar es una variable aleatoria compleja cuyas partes real e imaginaria son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente con media cero y varianza . ^{[3] : pág. 494  [4] : ​​págs. 501} Formalmente, ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle 1/2}$

donde denota que es una variable aleatoria normal compleja estándar. ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)}$ ${\displaystyle Z}$

Variable aleatoria normal compleja

Supongamos que y son variables aleatorias reales tales que es un vector aleatorio normal bidimensional . Entonces la variable aleatoria compleja se llama variable aleatoria normal compleja o variable aleatoria gaussiana compleja . ^{[3] : pág. 500} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,Y)^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle Z=X+iY}$

Vector aleatorio normal estándar complejo

Un vector aleatorio complejo de n dimensiones es un vector aleatorio normal estándar complejo o un vector aleatorio gaussiano estándar complejo si sus componentes son independientes y todos ellos son variables aleatorias normales complejas estándar como se define anteriormente. ^{[3] : pág. 502  [4] : ​​págs. 501} Es decir , se denota un vector aleatorio normal complejo estándar . ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})}$

Vector aleatorio normal complejo

Si y son vectores aleatorios , entonces es un vector aleatorio normal con componentes. Entonces decimos que el vector aleatorio complejo ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$ ${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} \,}$

es un vector aleatorio normal complejo o un vector aleatorio gaussiano complejo .

Media, covarianza y relación.

La compleja distribución gaussiana se puede describir con 3 parámetros: ^[5]

${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ],\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\mu )^{\mathrm {H} }],\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }],}$

donde denota transpuesta matricial de y denota transpuesta conjugada . ^{[3] : pág. 504  [4] : ​​págs.500} ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }}$

Aquí el parámetro de ubicación es un vector complejo de n dimensiones; la matriz de covarianza es hermitiana y definida no negativa ; y, la matriz de relaciones o matriz de pseudocovarianza es simétrica . El vector aleatorio normal complejo ahora se puede denotar como ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$

$${\displaystyle \mathbf {Z} \ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\ \Gamma ,\ C).}$$

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-{C}^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}C}$

también es definida no negativa donde denota el conjugado complejo de . ^[5] ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Relaciones entre matrices de covarianza

Como para cualquier vector aleatorio complejo, las matrices y pueden relacionarse con las matrices de covarianza de y mediante expresiones ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =\Re (\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =\Im (\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\end{aligned}}}$

y por el contrario

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma =V_{XX}+V_{YY}+i(V_{YX}-V_{XY}),\\&C=V_{XX}-V_{YY}+i(V_{YX}+V_{XY}).\end{aligned}}}$

Función de densidad

La función de densidad de probabilidad para una distribución normal compleja se puede calcular como

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{\pi ^{n}{\sqrt {\det(\Gamma )\det(P)}}}}\,\exp \!\left\{-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}({\overline {z}}-{\overline {\mu }})^{\intercal },&(z-\mu )^{\intercal }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma &C\\{\overline {C}}&{\overline {\Gamma }}\end{pmatrix}}^{\!\!-1}\!{\begin{pmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{pmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}}$

dónde y . ${\displaystyle R=C^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}}$ ${\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-RC}$

Función característica

La función característica de la distribución normal compleja viene dada por ^[5]

${\displaystyle \varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}},}$

donde el argumento es un vector complejo de n dimensiones. ${\displaystyle w}$

Propiedades

• Si es un vector n normal complejo , una matriz m×n y un vector m constante , entonces la transformada lineal se distribuirá también de forma normal compleja: ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +b}$

${\displaystyle Z\ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\,\Gamma ,\,C)\quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim \ {\mathcal {CN}}(A\mu +b,\,A\Gamma A^{\mathrm {H} },\,ACA^{\mathrm {T} })}$

• Si es un vector n normal complejo , entonces ${\displaystyle \mathbf {Z} }$

${\displaystyle 2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)}$

• Teorema del límite central . Si son variables aleatorias complejas independientes y distribuidas idénticamente, entonces ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{T}}$

${\displaystyle {\sqrt {T}}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\textstyle \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E} [Z_{t}]{\Big )}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma ,\,C),}$

dónde y . ${\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]}$ ${\displaystyle C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]}$

• El módulo de una variable aleatoria normal compleja sigue una distribución de Hoyt . ^[6]

Caja central circularmente simétrica

Definición

Un vector aleatorio complejo se llama circularmente simétrico si para cada determinista la distribución de es igual a la distribución de . ^{[4] : págs. 500–501} ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$

Los vectores aleatorios complejos normales centrales que son circularmente simétricos son de particular interés porque están completamente especificados por la matriz de covarianza . ${\displaystyle \Gamma }$

La distribución normal compleja circularmente simétrica (central) corresponde al caso de matriz de media cero y relación cero, es decir, y . ^{[3] : pág. 507  [7]} Esto generalmente se denota ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle C=0}$

${\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma )}$

Distribución de partes reales e imaginarias.

Si es una normal compleja circularmente simétrica (central), entonces el vector es una normal multivariada con estructura de covarianza ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$ ${\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {X} \\\mathbf {Y} \end{pmatrix}}\ \sim \ {\mathcal {N}}{\Big (}{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},\ {\tfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\Gamma &-\operatorname {Im} \,\Gamma \\\operatorname {Im} \,\Gamma &\operatorname {Re} \,\Gamma \end{bmatrix}}{\Big )}}$

dónde . ${\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }]}$

Función de densidad de probabilidad

Para una matriz de covarianza no singular , su distribución también se puede simplificar como ^{[3] : p. 508} ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle f_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )={\tfrac {1}{\pi ^{n}\det(\Gamma )}}\,e^{-(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )}}$.

Por lo tanto, si se desconocen la media distinta de cero y la matriz de covarianza , una función de probabilidad logarítmica adecuada para un único vector de observación sería ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \ln(L(\mu ,\Gamma ))=-\ln(\det(\Gamma ))-{\overline {(z-\mu )}}'\Gamma ^{-1}(z-\mu )-n\ln(\pi ).}$

La normal compleja estándar (definida en la ecuación 1 ) corresponde a la distribución de una variable aleatoria escalar con , y . Por tanto, la distribución normal compleja estándar tiene densidad ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle C=0}$ ${\displaystyle \Gamma =1}$

${\displaystyle f_{Z}(z)={\tfrac {1}{\pi }}e^{-{\overline {z}}z}={\tfrac {1}{\pi }}e^{-|z|^{2}}.}$

Propiedades

La expresión anterior demuestra por qué el caso se llama "circularmente simétrico". La función de densidad depende sólo de la magnitud de pero no de su argumento . Como tal, la magnitud de una variable aleatoria normal compleja estándar tendrá la distribución de Rayleigh y la magnitud al cuadrado tendrá la distribución exponencial , mientras que el argumento se distribuirá uniformemente en . ${\displaystyle C=0}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle |z|^{2}}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

Si son vectores aleatorios normales complejos circulares de n dimensiones independientes e idénticamente distribuidos con , entonces la norma aleatoria al cuadrado ${\displaystyle \left\{\mathbf {Z} _{1},\ldots ,\mathbf {Z} _{k}\right\}}$ ${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle Q=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} _{j}=\sum _{j=1}^{k}\|\mathbf {Z} _{j}\|^{2}}$

tiene la distribución chi-cuadrado generalizada y la matriz aleatoria

${\displaystyle W=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }}$

tiene la compleja distribución Wishart con grados de libertad. Esta distribución se puede describir mediante la función de densidad. ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(w)={\frac {\det(\Gamma ^{-1})^{k}\det(w)^{k-n}}{\pi ^{n(n-1)/2}\prod _{j=1}^{k}(k-j)!}}\ e^{-\operatorname {tr} (\Gamma ^{-1}w)}}$

donde , y es una matriz definida no negativa. ${\displaystyle k\geq n}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle n\times n}$

Ver también

• Distribución de razón normal compleja
• Estadísticas direccionales § Distribución de la media (forma polar)
• Distribución normal
• Distribución normal multivariada (una distribución normal compleja es una distribución normal bivariada)
• Distribución chi-cuadrado generalizada
• distribución de deseos
• Variable aleatoria compleja

Referencias

1. Goodman, NR (1963). "Análisis estadístico basado en una determinada distribución gaussiana compleja multivariada (una introducción)". Los anales de la estadística matemática . 34 (1): 152-177. doi : 10.1214/aoms/1177704250 . JSTOR  2991290.
2. capítulo del libro, Gallager.R, página 9.
3. Lapidoth, A. (2009). Una Fundación en Comunicación Digital . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521193955.
4. Tse, David (2005). Fundamentos de la comunicación inalámbrica. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9781139444668.
5. Picinbono, Bernard (1996). "Vectores aleatorios complejos de segundo orden y distribuciones normales". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 44 (10): 2637–2640. Código bibliográfico : 1996ITSP...44.2637P. doi : 10.1109/78.539051.
6. Daniel Wollschläger. "The Hoyt Distribution (Documentación para el paquete R 'shotGroups' versión 0.6.2)".^{[ enlace muerto permanente ]}
7. capítulo del libro, Gallager.R