Operaciones de conjuntos difusos

Operaciones sobre conjuntos difusos

Las operaciones de conjuntos difusos son una generalización de las operaciones de conjuntos nítidos para conjuntos difusos . De hecho, hay más de una generalización posible. Las operaciones más utilizadas se denominan operaciones de conjuntos difusos estándar y comprenden: complementos difusos, intersecciones difusas y uniones difusas.

Operaciones de conjuntos difusos estándar

Sean A y B conjuntos difusos en los que A, B ⊆ U, u es cualquier elemento (por ejemplo, valor) en el universo U: u ∈ U.

Complemento estándar

${\displaystyle \mu _{\lnot {A}}(u)=1-\mu _{A}(u)}$

El complemento a veces se denota por ∁ A o A ^∁ en lugar de ¬ A.

Intersección estándar

${\displaystyle \mu _{A\cap B}(u)=\min\{\mu _{A}(u),\mu _{B}(u)\}}$

Unión estándar

${\displaystyle \mu _{A\cup B}(u)=\max\{\mu _{A}(u),\mu _{B}(u)\}}$

En general, el triple (i,u,n) se llama Triplete de De Morgan si y solo si

• i es una norma t ,
• u es una conorma t (también conocida como norma s),
• n es un negador fuerte ,

de modo que para todo x , y ∈ [0, 1] se cumple lo siguiente:

u ( x , y ) = n ( i ( n ( x ), n ( y ) ) )

(relación de De Morgan generalizada). ^[1] Esto implica los axiomas que se proporcionan a continuación en detalle.

Complementos difusos

μ _A ( x ) se define como el grado en el que x pertenece a A . Sea ∁A un complemento difuso de A de tipo c . Entonces μ _∁A ( x ) es el grado en el que x pertenece a ∁A , y el grado en el que x no pertenece a A . ( μ _A ( x ) es por lo tanto el grado en el que x no pertenece a ∁A .) Sea un complemento ∁ A definido por una función

c  : [0,1] → [0,1]

Para todo x ∈ U : μ _∁A ( x ) = c ( μ _A ( x ))

Axiomas para complementos difusos

Axioma c1. Condición de contorno

c (0) = 1 y c (1) = 0

Axioma c2. Monotonía

Para todo a , b ∈ [0, 1], si a < b , entonces c ( a ) > c ( b )

Axioma c3. Continuidad

c es función continua.

Axioma c4. Involuciones

c es una involución , lo que significa que c ( c ( a )) = a para cada a ∈ [0,1]

c es un negador fuerte (también conocido como complemento difuso ).

Una función c que satisface los axiomas c1 y c3 tiene al menos un punto fijo a ^* con c(a ^* ) = a ^* , y si también se cumple el axioma c2 existe exactamente un punto fijo de ese tipo. Para el negador estándar c(x) = 1-x el único punto fijo es a ^* = 0,5 . ^[2]

Intersecciones difusas

La intersección de dos conjuntos difusos A y B se especifica en general mediante una operación binaria en el intervalo unitario, una función de la forma

yo :[0,1]×[0,1] → [0,1].

Para todo x ∈ U : μ _{A ∩ B} ( x ) = i [ μ _A ( x ), μ _B ( x )].

Axiomas para la intersección difusa

Axioma i1. Condición de contorno

yo ( a , 1) = a

Axioma i2. Monotonía

b ≤ d implica i ( a , b ) ≤ i ( a , d )

Axioma i3. Conmutatividad

yo ( a , b ) = yo ( b , a )

Axioma i4. Asociatividad

yo ( a , yo ( b , d )) = yo ( yo ( a , b ), d )

Axioma i5. Continuidad

i es una función continua

Axioma i6. Subidempotencia

i ( a , a ) < a para todo 0 < a < 1

Axioma i7. Monotonía estricta

i ( a ₁ , b ₁ ) < i ( a ₂ , b ₂ ) si a ₁ < a ₂ y b ₁ < b ₂

Los axiomas i1 a i4 definen una norma t (también conocida como intersección difusa ). La norma t estándar min es la única norma t idempotente (es decir, i ( a ₁ , a ₁ ) = a para todo a ∈ [0,1]). ^[2]

Uniones difusas

La unión de dos conjuntos difusos A y B se especifica en general mediante una operación binaria sobre la función de intervalo unitario de la forma

u :[0,1]×[0,1] → [0,1].

Para todo x ∈ U : μ _{A ∪ B} ( x ) = u [ μ _A ( x ), μ _B ( x )].

Axiomas para la unión difusa

Axioma u1. Condición de contorno

u ( a ,0) = u (0, a ) = a

Axioma u2. Monotonía

b ≤ d implica u ( a , b ) ≤ u ( a , d )

Axioma u3. Conmutatividad

u ( a , b ) = u ( b , a )

Axioma u4. Asociatividad

u ( a , u ( b , d )) = u ( u ( a, b ), d )

Axioma u5. Continuidad

u es una función continua

Axioma u6. Superidempotencia

u ( a , a ) > a para todo 0 < a < 1

Axioma u7. Monotonía estricta

a ₁ < a ₂ y b ₁ < b ₂ implica u ( a ₁ , b ₁ ) < u ( a ₂ , b ₂ )

Los axiomas u1 a u4 definen una t-conorma (también conocida como s-norma o unión difusa ). La t-conorma estándar max es la única t-conorma idempotente (es decir, u (a1, a1) = a para todo a ∈ [0,1]). ^[2]

Operaciones de agregación

Las operaciones de agregación en conjuntos difusos son operaciones mediante las cuales se combinan varios conjuntos difusos de una manera deseada para producir un único conjunto difuso.

La operación de agregación en un conjunto difuso n (2 ≤ n ) está definida por una función

h :[0,1] ⁿ → [0,1]

Axiomas para operaciones de agregación de conjuntos difusos

Axioma h1. Condición de contorno

h (0, 0, ..., 0) = 0 y h (1, 1, ..., 1) = uno

Axioma h2. Monotonía

Para cualquier par < a ₁ , a ₂ , ..., a _n > y < b ₁ , b ₂ , ..., b _n > de n -tuplas tales que a _i , b _i ∈ [0,1] para todo i ∈ N _n , si a _i ≤ b _i para todo i ∈ N _n , entonces h ( a ₁ , a ₂ , ..., a _n ) ≤ h ( b ₁ , b ₂ , ..., b _n ); es decir, h es monótona creciente en todos sus argumentos.

Axioma h3. Continuidad

h es una función continua.

Véase también

• Lógica difusa
• Conjunto difuso
• Norma T
• Conjuntos y sistemas difusos de tipo 2
• Álgebra de De Morgan

Lectura adicional

• Klir, George J. ; Bo Yuan (1995). Conjuntos difusos y lógica difusa: teoría y aplicaciones . Prentice Hall. ISBN 978-0131011717.

Referencias

1. Ismat Beg, Samina Ashraf: Medidas de similitud para conjuntos difusos, en: Applied and Computational Mathematics, marzo de 2009, disponible en Research Gate desde el 23 de noviembre de 2016
2. Günther Rudolph: Inteligencia computacional (PPS), TU Dortmund, Ingeniería de algoritmos LS11, semestre de invierno 2009/10. Tenga en cuenta que esta presentación en PowerPoint puede tener algunos problemas con la representación de caracteres especiales.

• LA Zadeh. Conjuntos difusos. Información y control, 8:338–353, 1965