Ecuación funcional

Ecuación cuya incógnita es una función

En matemáticas , una ecuación funcional ^{[1] [2] [ cita irrelevante ]} es, en el sentido más amplio, una ecuación en la que una o varias funciones aparecen como incógnitas . Así, las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones integrales son ecuaciones funcionales. Sin embargo, a menudo se utiliza un significado más restringido, donde una ecuación funcional es una ecuación que relaciona varios valores de la misma función. Por ejemplo, las funciones logarítmicas se caracterizan esencialmente por la ecuación funcional logarítmica ${\displaystyle \log(xy)=\log(x)+\log(y).}$

Si se supone que el dominio de la función desconocida son los números naturales , la función se considera generalmente como una secuencia y, en este caso, una ecuación funcional (en el sentido más estricto) se denomina relación de recurrencia . Por tanto, el término ecuación funcional se utiliza principalmente para funciones reales y funciones complejas . Además, a menudo se supone una condición de suavidad para las soluciones, ya que sin dicha condición, la mayoría de las ecuaciones funcionales tienen soluciones muy irregulares. Por ejemplo, la función gamma es una función que satisface la ecuación funcional y el valor inicial Hay muchas funciones que satisfacen estas condiciones, pero la función gamma es la única que es meromórfica en todo el plano complejo y logarítmicamente convexa para x real y positivo ( teorema de Bohr-Mollerup ). ${\displaystyle f(x+1)=xf(x)}$ ${\displaystyle f(1)=1.}$

Ejemplos

• Las relaciones de recurrencia pueden verse como ecuaciones funcionales en funciones sobre números enteros o naturales, en las que las diferencias entre los índices de los términos pueden verse como una aplicación del operador de desplazamiento . Por ejemplo, la relación de recurrencia que define los números de Fibonacci , , donde y ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$ ${\displaystyle F_{0}=0}$ ${\displaystyle F_{1}=1}$

• ${\displaystyle f(x+P)=f(x)}$, que caracteriza las funciones periódicas

• ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$, que caracteriza a las funciones pares , y asimismo , que caracteriza a las funciones impares ${\displaystyle f(x)=-f(-x)}$

• ${\displaystyle f(f(x))=g(x)}$, que caracteriza las raíces cuadradas funcionales de la función g

• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!}$( ecuación funcional de Cauchy ), satisfecha por aplicaciones lineales . La ecuación puede, dependiendo del axioma de elección , tener también otras soluciones no lineales patológicas, cuya existencia puede demostrarse con una base de Hamel para los números reales.
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y),\,\!}$Satisfecho por todas las funciones exponenciales . Al igual que la ecuación funcional aditiva de Cauchy, esta también puede tener soluciones patológicas y discontinuas.
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)\,\!}$, satisfecha por todas las funciones logarítmicas y, sobre argumentos enteros coprimos, funciones aditivas
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)\,\!}$, satisfecha por todas las funciones de potencia y, sobre argumentos enteros coprimos, funciones multiplicativas
• ${\displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]\,\!}$(ecuación cuadrática o ley del paralelogramo )
• ${\displaystyle f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!}$(Ecuación funcional de Jensen)
• ${\displaystyle g(x+y)+g(x-y)=2[g(x)g(y)]\,\!}$(ecuación funcional de d'Alembert)
• ${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)\,\!}$( ecuación de Abel )
• ${\displaystyle f(h(x))=cf(x)\,\!}$( Ecuación de Schröder ).
• ${\displaystyle f(h(x))=(f(x))^{c}\,\!}$( Ecuación de Böttcher ).
• ${\displaystyle f(h(x))=h'(x)f(x)\,\!}$( Ecuación de Julia ).
• ${\displaystyle f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)\,\!}$(Levítico-Civita),
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!}$( fórmula de adición de senos y fórmula de adición de senos hiperbólicos ),
• ${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!}$( fórmula de adición de coseno ),
• ${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)+f(y)f(x)\,\!}$( fórmula de adición del coseno hiperbólico ).
• Las leyes conmutativa y asociativa son ecuaciones funcionales. En su forma habitual, la ley asociativa se expresa escribiendo la operación binaria en notación infija , pero si escribimos f ( a ,  b ) en lugar de a ○ b entonces la ley asociativa se parece más a una ecuación funcional convencional, $${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)~,}$$ $${\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).\,\!}$$

• La ecuación funcional se satisface con la función zeta de Riemann , como se demuestra aquí . La Γ mayúscula denota la función gamma . $${\displaystyle f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)}$$

• La función gamma es la solución única del siguiente sistema de tres ecuaciones: ^{[ cita requerida ]}
  • ${\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x}}$
  • ${\displaystyle f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)}$
  • ${\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}}$          ( Fórmula de reflexión de Euler )
• La ecuación funcional donde a , b , c , d son números enteros que satisfacen , es decir = 1, define f como una forma modular de orden k . $${\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$$ ${\displaystyle ad-bc=1}$ ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}$

Una característica que todos los ejemplos enumerados anteriormente tienen en común es que, en cada caso, dos o más funciones conocidas (a veces la multiplicación por una constante, a veces la suma de dos variables, a veces la función identidad ) están dentro del argumento de las funciones desconocidas a resolver.

A la hora de pedir todas las soluciones, puede darse el caso de que se deban aplicar condiciones del análisis matemático ; por ejemplo, en el caso de la ecuación de Cauchy mencionada anteriormente, las soluciones que son funciones continuas son las "razonables", mientras que se pueden construir otras soluciones que no es probable que tengan aplicación práctica (utilizando una base de Hamel para los números reales como espacio vectorial sobre los números racionales ). El teorema de Bohr-Mollerup es otro ejemplo bien conocido.

Involuciones

Las involuciones se caracterizan por la ecuación funcional . Estas aparecen en la ecuación funcional de Babbage (1820), ^[3] ${\displaystyle f(f(x))=x}$

${\displaystyle f(f(x))=1-(1-x)=x\,.}$

Otras involuciones y soluciones de la ecuación incluyen

• ${\displaystyle f(x)=a-x\,,}$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {a}{x}}\,,}$y
• ${\displaystyle f(x)={\frac {b-x}{1+cx}}~,}$

que incluye los tres anteriores como casos especiales o límites.

Solución

Un método para resolver ecuaciones funcionales elementales es la sustitución. ^{[ cita requerida ]}

Algunas soluciones a ecuaciones funcionales han explotado la sobreyectividad , la inyectividad , la imparidad y la paridad . ^{[ cita requerida ]}

Algunas ecuaciones funcionales se han resuelto con el uso de ansatzes , inducción matemática . ^{[ cita requerida ]}

Algunas clases de ecuaciones funcionales pueden resolverse mediante técnicas asistidas por computadora. ^{[ vago ] [4]}

En programación dinámica se utilizan diversos métodos de aproximación sucesiva ^{[5] [6] para resolver} la ecuación funcional de Bellman , incluidos métodos basados ​​en iteraciones de punto fijo .

Véase también

• Ecuación funcional (función L)
• Ecuación de Bellman
• Programación dinámica
• Función implícita
• Ecuación diferencial funcional

Notas

1. Rassias, Themistocles M. (2000). Ecuaciones y desigualdades funcionales. 3300 AA Dordrecht, Países Bajos: Kluwer Academic Publishers . pág. 335. ISBN 0-7923-6484-8.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
2. Czerwik, Stephan (2002). Ecuaciones funcionales y desigualdades en varias variables . Apartado Postal 128, Farrer Road, Singapur 912805: World Scientific Publishing Co. p. 410. ISBN  981-02-4837-7.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
3. Ritt, JF (1916). "Sobre ciertas soluciones reales de la ecuación funcional de Babbage". Anales de Matemáticas . 17 (3): 113–122. doi :10.2307/2007270. JSTOR  2007270.
4. Házy, Atila (1 de marzo de 2004). "Resolución de ecuaciones funcionales lineales de dos variables con computadora". Aecuaciones Mathematicae . 67 (1): 47–62. doi :10.1007/s00010-003-2703-9. ISSN  1420-8903. S2CID  118563768.
5. Bellman, R. (1957). Programación dinámica, Princeton University Press .
6. Sniedovich, M. (2010). Programación dinámica: fundamentos y principios, Taylor & Francis .

Referencias

• János Aczél , Conferencias sobre ecuaciones funcionales y sus aplicaciones , Academic Press , 1966, reimpreso por Dover Publications, ISBN 0486445232 . 
• János Aczél y J. Dhombres, Ecuaciones funcionales en varias variables , Cambridge University Press , 1989.
• C. Efthimiou, Introducción a las ecuaciones funcionales , AMS, 2011, ISBN 978-0-8218-5314-6  ; en línea. 
• Pl. Kannappan, Ecuaciones funcionales y desigualdades con aplicaciones , Springer, 2009.
• Marek Kuczma , Introducción a la teoría de ecuaciones y desigualdades funcionales , segunda edición, Birkhäuser, 2009.
• Henrik Stetkær, Ecuaciones funcionales en grupos , primera edición, World Scientific Publishing, 2013.
• Christopher G. Small (3 de abril de 2007). Ecuaciones funcionales y cómo resolverlas. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48901-8.

Enlaces externos

• Ecuaciones funcionales: soluciones exactas en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuaciones funcionales: Índice en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Texto del Compendio de la OMI (archivado) sobre ecuaciones funcionales en la resolución de problemas.