Carlos Loewner

Matemático estadounidense (1893-1968)

Charles Loewner (29 de mayo de 1893 - 8 de enero de 1968) fue un matemático estadounidense . Su nombre era Karel Löwner en checo y Karl Löwner en alemán.

Karl Loewner nació en una familia judía en Lany, a unos 30 kilómetros de Praga, donde su padre, Sigmund Löwner, era dueño de una tienda. ^{[1] [2]}

Loewner recibió su doctorado. de la Universidad de Praga en 1917 bajo la supervisión de Georg Pick . Una de sus contribuciones matemáticas centrales es la prueba de la conjetura de Bieberbach en el primer caso altamente no trivial del tercer coeficiente. La técnica que introdujo, la ecuación diferencial de Loewner , ha tenido implicaciones de gran alcance en la teoría de funciones geométricas ; Louis de Branges lo utilizó en la solución final de la conjetura de Bieberbach en 1985. Loewner trabajó en la Universidad de Berlín , la Universidad de Praga , la Universidad de Louisville , la Universidad de Brown , la Universidad de Syracuse y, finalmente, en la Universidad de Stanford . Entre sus alumnos se encuentran Lipman Bers , Roger Horn , Adriano Garsia y PM Pu .

Desigualdad del toro de Loewner

En 1949, Loewner demostró su desigualdad del toro , en el sentido de que cada métrica del 2-toro satisface la desigualdad óptima.

${\displaystyle \operatorname {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatorname {area} (\mathbb {T} ^{2}),}$

donde sys es su sístole . El caso límite de igualdad se alcanza si y sólo si la métrica es plana y homotética con respecto al llamado toro equilátero , es decir, toro cuyo grupo de transformaciones es precisamente la red hexagonal atravesada por las raíces cúbicas de la unidad en . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Teorema de la matriz de Loewner

La matriz de Loewner (en álgebra lineal ) es una matriz cuadrada o, más específicamente, un operador lineal (de funciones reales ) asociado con 2 parámetros de entrada que consisten en (1) una función real continuamente diferenciable en un subintervalo de los números reales y (2 ) un vector de dimensiones con elementos elegidos del subintervalo; A los 2 parámetros de entrada se les asigna un parámetro de salida que consta de una matriz. ^[3] ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$

Sea una función de valor real que es continuamente diferenciable en el intervalo abierto . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,b)}$

Para cualquiera, defina la diferencia dividida de en como ${\displaystyle s,t\in (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s,t}$

${\displaystyle f^{[1]}(s,t)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {f(s)-f(t)}{s-t}},&{\text{if }}s\neq t\\f'(s),&{\text{if }}s=t\end{cases}}}$.

Dado , la matriz de Loewner asociada con for se define como la matriz cuya entrada es . ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in (a,b)}$ ${\displaystyle L_{f}(t_{1},\ldots ,t_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (t_{1},\ldots ,t_{n})}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle f^{[1]}(t_{i},t_{j})}$

En su artículo fundamental de 1934, Loewner demostró que para cada entero positivo , es monótono si y sólo si es semidefinido positivo para cualquier elección de . ^{[3] [4] [5]} Lo más significativo es que, utilizando esta equivalencia, demostró que es -monótono para todos si y sólo si es una analítica real con una continuación analítica hasta el semiplano superior que tiene una parte imaginaria positiva en la parte superior. avión. Consulte Función monótona del operador . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle L_{f}(t_{1},\ldots ,t_{n})}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

Grupos continuos

"Durante la visita [de Loewner] a Berkeley en 1955, dio un curso sobre grupos continuos , y sus conferencias se reprodujeron en forma de notas duplicadas. Loewner planeó escribir un libro detallado sobre grupos continuos basado en estas notas de conferencias, pero el proyecto aún estaba en desarrollo. en etapa de formación en el momento de su muerte." Harley Flanders y Murray H. Protter "decidieron revisar y corregir las notas de la conferencia originales y ponerlas a disposición de forma permanente". ^[6] Charles Loewner: Teoría de grupos continuos (1971) fue publicado por The MIT Press , ^[7] y reeditado en 2008. ^[8]

En la terminología de Loewner, si y se realiza una acción grupal en , entonces se denomina cantidad (página 10). La distinción se hace entre un grupo abstracto y una realización de en términos de transformaciones lineales que producen una representación de grupo . Estas transformaciones lineales se denominan jacobianas (página 41). El término densidad invariante se utiliza para la medida de Haar , que Loewner atribuye a Adolph Hurwitz (página 46). Loewner demuestra que los grupos compactos tienen densidades invariantes izquierda y derecha iguales (página 48). ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle J({\overset {u}{v}})}$

Un crítico dijo: "El lector recibe ayuda de ejemplos y comentarios esclarecedores sobre las relaciones con el análisis y la geometría". ^[9]

Ver también

• Elipsoide de Löwner-John
• Evolución de Schramm-Loewner
• Paseo aleatorio borrado en bucle
• Sístoles de superficies

Referencias

• Berger, Marcel : À l'ombre de Loewner. (Francés) Ana. Ciencia. Norma de la escuela. Sorber. (4) 5 (1972), 241–260.
• Löwner, Charles; Nirenberg, Louis: Ecuaciones diferenciales parciales invariantes bajo transformaciones conformes o proyectivas. Contribuciones al análisis (una colección de artículos dedicados a Lipman Bers), págs. 245-272. Prensa académica, Nueva York, 1974.

1. Biografía de Löwner
2. 2.2 Charles Löwner
3. Hiai, Fumio; Sano, Takashi (2012). "Matrices de Loewner de funciones matriciales convexas y monótonas". Revista de la Sociedad Matemática de Japón . 54 (2): 343–364. arXiv : 1007.2478 . doi : 10.2969/jmsj/06420343. S2CID  117532480.
4. Lowner, Karl (1934). "Funciones Matrix súper monótonas". Mathematische Zeitschrift . 38 (1): 177–216. doi :10.1007/BF01170633. S2CID  121439134.
5. Löwner, Charles (1950). "Algunas clases de funciones definidas por diferencias o desigualdades diferenciales". Toro. América. Matemáticas. Soc . 56 (4): 308–319. doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09405-1 .
6. Prefacio, página ix
7. Löwner, Charles (1971). Teoría de Grupos Continuos . ISBN 0-262-06-041-8.
8. Löwner, Charles; Flandes, Harley; Protter, Murray H. (2008). Reimpresión de Dover. ISBN 9780486462929.
9. Deane Montgomery SEÑOR 0315038

enlaces externos

• Resolución conmemorativa de Stanford
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Charles Loewner", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews