Función medible

Función para la cual la preimagen de un conjunto medible es medible

En matemáticas , y en particular en teoría de la medida , una función medible es una función entre los conjuntos subyacentes de dos espacios mensurables que preserva la estructura de los espacios: la preimagen de cualquier conjunto mensurable es mensurable. Esto está en analogía directa con la definición de que una función continua entre espacios topológicos preserva la estructura topológica: la preimagen de cualquier conjunto abierto es abierta. En el análisis real , se utilizan funciones medibles en la definición de la integral de Lebesgue . En teoría de la probabilidad , una función mensurable en un espacio de probabilidad se conoce como variable aleatoria .

Definicion formal

Sean y espacios medibles, lo que significa que y son conjuntos equipados con -álgebras respectivas y Se dice que una función es medible si para cada la preimagen de under está en ; es decir, para todos ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle (Y,\mathrm {T} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathrm {T} .}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$

$${\displaystyle f^{-1}(E):=\{x\in X\mid f(x)\in E\}\in \Sigma .}$$

Es decir, ¿ dónde está el σ-álgebra generada por f ? Si es una función medible, se escribe ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \Sigma ,}$ ${\displaystyle \sigma (f)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

$${\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} ).}$$

${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathrm {T} .}$

Variaciones de uso de términos

La elección de -álgebras en la definición anterior a veces es implícita y se deja al contexto. Por ejemplo, para u otros espacios topológicos, el álgebra de Borel (generada por todos los conjuntos abiertos) es una elección común. Algunos autores definen funciones medibles como funciones exclusivamente de valor real con respecto al álgebra de Borel. ^[1] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Si los valores de la función se encuentran en un espacio vectorial de dimensión infinita , existen otras definiciones de mensurabilidad no equivalentes, como mensurabilidad débil y mensurabilidad de Bochner .

Clases notables de funciones medibles

• Las variables aleatorias son, por definición, funciones medibles definidas en espacios de probabilidad.
• Si y son espacios de Borel , una función medible también se llama función de Borel . Las funciones continuas son funciones de Borel, pero no todas las funciones de Borel son continuas. Sin embargo, una función medible es casi una función continua; ver el teorema de Luzin . Si una función de Borel resulta ser una sección de un mapa, se llama sección de Borel . ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle (Y,T)}$ ${\displaystyle f:(X,\Sigma )\to (Y,T)}$ ${\displaystyle Y\xrightarrow {~\pi ~} X,}$
• Una función medible de Lebesgue es una función medible donde está el álgebra de conjuntos mensurables de Lebesgue y el álgebra de Borel sobre números complejos . Las funciones medibles de Lebesgue son de interés en el análisis matemático porque pueden integrarse. En el caso de que Lebesgue sea mensurable si y sólo si es mensurable para todos. Esto también equivale a que cualquiera sea mensurable para todos o la preimagen de que cualquier conjunto abierto sea mensurable. Las funciones continuas, funciones monótonas, funciones escalonadas, funciones semicontinuas, funciones integrables de Riemann y funciones de variación acotada son todas medibles de Lebesgue. ^[2] Una función es mensurable si y sólo si las partes real e imaginaria son mensurables. ${\displaystyle f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }),}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{f>\alpha \}=\{x\in X:f(x)>\alpha \}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \{f\geq \alpha \},\{f<\alpha \},\{f\leq \alpha \}}$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

Propiedades de funciones medibles

• La suma y el producto de dos funciones medibles de valores complejos son mensurables. ^[3] También lo es el cociente, siempre que no haya división por cero. ^[1]
• Si y son funciones medibles, entonces también lo es su composición ^[1] ${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$ ${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{2})\to (Z,\Sigma _{3})}$ ${\displaystyle g\circ f:(X,\Sigma _{1})\to (Z,\Sigma _{3}).}$
• Si y son funciones mensurables, su composición no necesita ser mensurable a menos que . De hecho, dos funciones mensurables según Lebesgue puedan construirse de tal manera que su composición no sea mensurable según Lebesgue. ${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$ ${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{3})\to (Z,\Sigma _{4})}$ ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ ${\displaystyle (\Sigma _{1},\Sigma _{4})}$ ${\displaystyle \Sigma _{3}\subseteq \Sigma _{2}.}$
• El supremo (puntual) , el mínimo , el límite superior y el límite inferior de una secuencia (es decir, contablemente muchas) de funciones medibles de valor real también son mensurables. ^{[1] [4]}
• El límite puntual de una secuencia de funciones medibles es medible, donde es un espacio métrico (dotado del álgebra de Borel). Esto no es cierto en general si no es metrizable. La declaración correspondiente para funciones continuas requiere condiciones más fuertes que la convergencia puntual, como la convergencia uniforme. ^{[5] [6]} ${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Funciones no medibles

Las funciones de valor real que se encuentran en las aplicaciones tienden a ser mensurables; sin embargo, no es difícil demostrar la existencia de funciones no mensurables. Tales pruebas se basan en el axioma de elección de manera esencial, en el sentido de que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección no prueba la existencia de tales funciones.

En cualquier espacio de medidas con un conjunto no medible se puede construir una función indicadora no medible : ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle A\subset X,}$ ${\displaystyle A\notin \Sigma ,}$

$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}:(X,\Sigma )\to \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in A\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}}$$

álgebra de Borel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle A.}$

Como otro ejemplo, cualquier función no constante no es medible con respecto al álgebra trivial ya que la preimagen de cualquier punto en el rango es un subconjunto propio y no vacío del cual no es un elemento del álgebra trivial. ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing ,X\},}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \Sigma .}$

Ver también

• Función medible de Bochner
• Espacio de Bochner  - Tipo de espacio topológico
• Espacio Lp  – Espacios funcionales que generalizan espacios normativos p de dimensión finita - Espacios vectoriales de funciones medibles: los espacios ${\displaystyle L^{p}}$
• Sistema dinámico que preserva la medida  : tema de estudio en teoría ergódica
• Medida vectorial
• Función débilmente medible

Notas

1. Strichartz, Robert (2000). El Camino del Análisis . Jones y Bartlett. ISBN 0-7637-1497-6.
2. Carothers, Países Bajos (2000). Análisis reales . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-49756-6.
3. Folland, Gerald B. (1999). Análisis Real: Técnicas Modernas y sus Aplicaciones . Wiley. ISBN 0-471-31716-0.
4. Royden, HL (1988). Análisis reales . Prentice Hall. ISBN 0-02-404151-3.
5. Dudley, RM (2002). Análisis real y probabilidad (2 ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-00754-2.
6. Aliprantis, Charalambos D.; Frontera, Kim C. (2006). Análisis dimensional infinito, una guía para el autoestopista (3 ed.). Saltador. ISBN 978-3-540-29587-7.

enlaces externos

• Función medible en la Enciclopedia de Matemáticas
• Función de Borel en la Enciclopedia de Matemáticas