Función continua de Cauchy

En matemáticas , una función Cauchy-continua o Cauchy-regular es un tipo especial de función continua entre espacios métricos (o espacios más generales). Las funciones Cauchy-continuas tienen la propiedad útil de que siempre pueden extenderse (de manera única) hasta la completitud de Cauchy de su dominio.

Definición

Sean y espacios métricos , y sea una función de a Entonces es Cauchy-continua si y solo si, dada cualquier secuencia de Cauchy en la secuencia es una secuencia de Cauchy en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right),\ldots \right)}$ ${\displaystyle Y.}$

Propiedades

Toda función uniformemente continua es también Cauchy-continua. Por el contrario, si el dominio está totalmente acotado , entonces toda función Cauchy-continua es uniformemente continua. De manera más general, incluso si no está totalmente acotado, una función en es Cauchy-continua si y solo si es uniformemente continua en cada subconjunto totalmente acotado de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Toda función continua de Cauchy es continua . Por el contrario, si el dominio es completo , entonces toda función continua es continua de Cauchy. De manera más general, incluso si no es completa, siempre que sea completa, entonces cualquier función continua de Cauchy de a puede extenderse a una función continua (y, por lo tanto, continua de Cauchy) definida en la completitud de Cauchy de esta extensión es necesariamente única. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X;}$

Combinando estos hechos, si es compacto , entonces los mapas continuos, los mapas de Cauchy-continuos y los mapas uniformemente continuos en son todos iguales. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos y no ejemplos

Como la recta real es completa, las funciones continuas en son Cauchy-continuas. Sin embargo, en el subespacio de números racionales , las cosas son diferentes. Por ejemplo, defina una función bivalente de modo que sea cuando sea menor que pero cuando sea mayor que (Note que nunca es igual a para ningún número racional ) Esta función es continua en pero no Cauchy-continua, ya que no se puede extender continuamente a Por otro lado, cualquier función uniformemente continua en debe ser Cauchy-continua. Para un ejemplo no uniforme en sea ; esto no es uniformemente continuo (en todos los ), pero es Cauchy-continua. (Este ejemplo funciona igualmente bien en ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 2.}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle 2^{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Una secuencia de Cauchy en se puede identificar con una función de Cauchy continua de a definida por Si es completa, entonces esto se puede extender a será el límite de la secuencia de Cauchy. ${\displaystyle \left(y_{1},y_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{1,1/2,1/3,\ldots \right\}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f\left(1/n\right)=y_{n}.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{1,1/2,1/3,\ldots \right\};}$ ${\displaystyle f(x)}$

Generalizaciones

La continuidad de Cauchy tiene sentido en situaciones más generales que los espacios métricos, pero entonces hay que pasar de sucesiones a redes (o equivalentemente filtros ). La definición anterior se aplica, siempre que la sucesión de Cauchy se sustituya por una red de Cauchy arbitraria . De manera equivalente, una función es Cauchy-continua si y solo si, dado cualquier filtro de Cauchy en entonces es un filtro de Cauchy basado en Esta definición concuerda con la anterior sobre espacios métricos, pero también funciona para espacios uniformes y, de manera más general, para espacios de Cauchy . ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle Y.}$

Cualquier conjunto dirigido puede convertirse en un espacio de Cauchy. Entonces, dado cualquier espacio, las redes de Cauchy en indexadas por son las mismas que las funciones continuas de Cauchy de a Si es completa, entonces la extensión de la función a dará el valor del límite de la red. (Esto generaliza el ejemplo de las sucesiones anteriores, donde 0 debe interpretarse como ) ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}.}$

Véase también

• Espacio de Cauchy  : concepto de topología general y análisis
• Teorema de Heine-Cantor

Referencias

• Eva Lowen-Colebunders (1989). Clases de funciones de aplicaciones continuas de Cauchy . Dekker, Nueva York.