Función Chandrasekhar-Kendall

Funciones propias axisimétricas

Las funciones de Chandrasekhar-Kendall son las funciones propias del operador rotacional derivadas por Subrahmanyan Chandrasekhar y PC Kendall en 1957 mientras intentaban resolver los campos magnéticos libres de fuerza . ^{[1] [2]} Las funciones fueron derivadas independientemente por ambos, y ambos decidieron publicar sus hallazgos en el mismo artículo.

Si la ecuación del campo magnético libre de fuerza se escribe como , donde es el campo magnético y es el parámetro libre de fuerza, con el supuesto de campo libre de divergencia, , entonces la solución más general para el caso axisimétrico es ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\lambda \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} =0}$

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{\lambda }}\nabla \times (\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} )+\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} }$

donde es un vector unitario y la función escalar satisface la ecuación de Helmholtz , es decir, ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda ^{2}\psi =0.}$

La misma ecuación también aparece en los flujos de Beltrami de la dinámica de fluidos, donde el vector de vorticidad es paralelo al vector de velocidad, es decir, . ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$

Derivación

Tomando el rizo de la ecuación y usando esta misma ecuación, obtenemos ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\lambda \mathbf {H} }$

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {H} )=\lambda ^{2}\mathbf {H} }$.

En la identidad vectorial , podemos establecer que, dado que es solenoidal, lo que conduce a una ecuación de Helmholtz vectorial , ${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {H} \right)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {H} )-\nabla ^{2}\mathbf {H} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} =0}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {H} +\lambda ^{2}\mathbf {H} =0}$.

Toda solución de la ecuación anterior no es la solución de la ecuación original, pero la inversa es cierta. Si es una función escalar que satisface la ecuación , entonces las tres soluciones linealmente independientes de la ecuación vectorial de Helmholtz están dadas por ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda ^{2}\psi =0}$

${\displaystyle \mathbf {L} =\nabla \psi ,\quad \mathbf {T} =\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} ,\quad \mathbf {S} ={\frac {1}{\lambda }}\nabla \times \mathbf {T} }$

donde es un vector unitario fijo. Como , se puede encontrar que . Pero esto es lo mismo que la ecuación original, por lo tanto , donde es el campo poloidal y es el campo toroidal. Por lo tanto, sustituyendo en , obtenemos la solución más general como ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {S} =\lambda \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {S} +\mathbf {T} )=\lambda (\mathbf {S} +\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {S} +\mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{\lambda }}\nabla \times (\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} )+\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} .}$

Coordenadas polares cilíndricas

Tomando el vector unitario en la dirección, es decir, , con una periodicidad en la dirección con condiciones de contorno que se desvanecen en , la solución está dada por ^{[3] [4]} ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {e} _{z}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r=a}$

${\displaystyle \psi =J_{m}(\mu _{j}r)e^{im\theta +ikz},\quad \lambda =\pm (\mu _{j}^{2}+k^{2})^{1/2}}$

donde es la función de Bessel, , los números enteros y está determinada por la condición de contorno Los valores propios para deben tratarse por separado. Como aquí , podemos pensar que la dirección es toroidal y la dirección es poloidal, de acuerdo con la convención. ${\displaystyle J_{m}}$ ${\displaystyle k=\pm 2\pi n/L,\ n=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle m=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$ ${\displaystyle \mu _{j}}$ ${\displaystyle ak\mu _{j}J_{m}'(\mu _{j}a)+m\lambda J_{m}(\mu _{j}a)=0.}$ ${\displaystyle m=n=0}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {e} _{z}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \theta }$

Véase también

• Descomposición poloidal-toroidal
• Teorema de Woltjer

Referencias

1. Chandrasekhar, Subrahmanyan (1956). "Sobre campos magnéticos libres de fuerza". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 42 (1): 1–5. doi : 10.1073/pnas.42.1.1 . ISSN  0027-8424. PMC  534220 . PMID  16589804.
2. Chandrasekhar, Subrahmanyan; Kendall, PC (septiembre de 1957). "Sobre campos magnéticos libres de fuerza". The Astrophysical Journal . 126 (1): 1–5. Bibcode :1957ApJ...126..457C. doi :10.1086/146413. ISSN  0004-637X. PMC 534220 . PMID  16589804. 
3. Montgomery, David; Turner, Leaf; Vahala, George (1978). "Turbulencia magnetohidrodinámica tridimensional en geometría cilíndrica". Física de fluidos . 21 (5): 757–764. doi :10.1063/1.862295.
4. Yoshida, Z. (1 de julio de 1991). "Estados propios discretos de plasmas descritos por las funciones de Chandrasekhar–Kendall". Progreso de la física teórica . 86 (1): 45–55. doi : 10.1143/ptp/86.1.45 . ISSN  0033-068X.