Funcional energético de placa delgada

La energía funcional de placa delgada (TPEF) exacta para una función es ${\displaystyle f(x,y)}$

${\displaystyle \int _{y_{0}}^{y_{1}}\int _{x_{0}}^{x_{1}}(\kappa _{1}^{2}+\kappa _{2}^{2}){\sqrt {g}}\,dx\,dy}$

donde y son las curvaturas principales de la superficie mapeada en el punto ^{[1] [2]} Esta es la integral de superficie de, por lo tanto, en el integrando. ${\displaystyle \kappa _{1}}$ ${\displaystyle \kappa _{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,y).}$ ${\displaystyle \kappa _{1}^{2}+\kappa _{2}^{2},}$ ${\displaystyle {\sqrt {g}}}$

Minimizar la energía funcional exacta de la placa delgada daría como resultado un sistema de ecuaciones no lineales. Por lo tanto, en la práctica, a menudo se utiliza una aproximación que da como resultado sistemas de ecuaciones lineales. ^{[1] [3] [4]} La aproximación se deriva asumiendo que el gradiente de es 0. En cualquier punto donde la primera forma fundamental de la aplicación de la superficie es la matriz identidad y la segunda forma fundamental es ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{x}=f_{y}=0,}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle b_{ij}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{xy}&f_{yy}\end{pmatrix}}}$.

Podemos usar la fórmula para la curvatura media ^[5] para determinar que y la fórmula para la curvatura gaussiana ^[5] (donde y son los determinantes de la segunda y primera forma fundamental, respectivamente) para determinar que Dado que y ^[5] el integrando del TPEF exacto es igual a Las expresiones que acabamos de calcular para la curvatura media y la curvatura gaussiana como funciones de derivadas parciales de muestran que el integrando del TPEF exacto es ${\displaystyle H=b_{ij}g^{ij}/2}$ ${\displaystyle H=(f_{xx}+f_{yy})/2}$ ${\displaystyle K=b/g}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}.}$ ${\displaystyle H=(k_{1}+k_{2})/2}$ ${\displaystyle K=k_{1}k_{2},}$ ${\displaystyle 4H^{2}-2K.}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle 4H^{2}-2K=(f_{xx}+f_{yy})^{2}-2(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2})=f_{xx}^{2}+2f_{xy}^{2}+f_{yy}^{2}.}$

Por lo tanto, la energía funcional aproximada de la placa delgada es

${\displaystyle J[f]=\int _{y_{0}}^{y_{1}}\int _{x_{0}}^{x_{1}}f_{xx}^{2}+2f_{xy}^{2}+f_{yy}^{2}\,dx\,dy.}$

Invariancia rotacional

Rotación de (x,y) en theta sobre el eje z hasta (X,Y)

Superficie original con punto (x,y)

Superficie rotada con punto rotado (X,Y)

La TPEF es rotacionalmente invariante. Esto significa que si todos los puntos de la superficie se rotan en un ángulo sobre el eje , la TPEF en cada punto de la superficie es igual a la TPEF de la superficie rotada en el eje rotado. La fórmula para una rotación en un ángulo sobre el eje es ${\displaystyle z(x,y)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,y).}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$

El hecho de que el valor de la superficie en sea igual al valor de la superficie rotada en la rotada se expresa matemáticamente mediante la ecuación ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle Z(X,Y)=z(x,y)=(z\circ xy)(X,Y)}$

donde es la rotación inversa, es decir, Entonces y la regla de la cadena implica ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle xy(X,Y)=R^{-1}(X,Y)^{\text{T}}=R^{\text{T}}(X,Y)^{\text{T}}.}$ ${\displaystyle Z=z\circ xy}$

En la ecuación ( 2 ), significa significa significa y significa La ecuación ( 2 ) y todas las ecuaciones posteriores en esta sección utilizan la convención de suma no tensorial, es decir, las sumas se toman sobre índices repetidos en un término incluso si ambos índices son subíndices. La regla de la cadena también es necesaria para diferenciar la ecuación ( 2 ) ya que es en realidad la composición ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle Z_{X},}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{Y},}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{x},}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{y}.}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}\circ xy:}$

${\displaystyle Z_{ik}=z_{jl}R_{kl}R_{ij}}$.

Intercambio de nombres de índices y rendimientos ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$

Al expandir la suma para cada par obtenemos ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}Z_{XX}&=&R_{00}^{2}z_{xx}+2R_{00}R_{01}z_{xy}+R_{01}^{2}z_{yy},\\Z_{XY}&=&R_{00}R_{10}z_{xx}+(R_{00}R_{11}+R_{01}R_{10})z_{xy}+R_{01}R_{11}z_{yy},\\Z_{YY}&=&R_{10}^{2}z_{xx}+2R_{10}R_{11}z_{xy}+R_{11}^{2}z_{yy}.\end{array}}}$

El cálculo del TPEF para la superficie rotada arroja

Insertar los coeficientes de la matriz de rotación de la ecuación ( 1 ) en el lado derecho de la ecuación ( 4 ) la simplifica a ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle z_{xx}^{2}+2z_{xy}^{2}+z_{yy}^{2}.}$

Ajuste de datos

La energía funcional aproximada de la placa delgada se puede utilizar para ajustar superficies B-spline a datos 1D dispersos en una cuadrícula 2D (por ejemplo, datos de modelos de terreno digitales). ^{[6] [3]} Llame a los puntos de la cuadrícula para (con y ) y los valores de los datos Para ajustar un B-spline uniforme a los datos, la ecuación ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ ${\displaystyle i=1\dots N}$ ${\displaystyle x_{i}\in [a,b]}$ ${\displaystyle y_{i}\in [c,d]}$ ${\displaystyle z_{i}.}$ ${\displaystyle f(x,y)}$

(donde es el "parámetro de suavizado") se minimiza. Los valores más grandes de dan como resultado una superficie más suave y los valores más pequeños dan como resultado un ajuste más preciso a los datos. Las siguientes imágenes ilustran los resultados de ajustar una superficie B-spline a algunos datos de terreno utilizando este método. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

• 
  Datos originales del terreno
• 
  Superficie B-spline ajustada con lambda grande y más suavizado
• 
  Superficie B-spline ajustada con lambda más pequeña y menos suavizado

La spline de suavizado de placa delgada también minimiza la ecuación ( 5 ), pero es mucho más costosa de calcular que una B-spline y no es tan suave (solo está en los "centros" y tiene segundas derivadas ilimitadas allí). ${\displaystyle C^{1}}$

Referencias

1. Greiner, Günther (1994). "Diseño variacional y carenado de superficies spline" (PDF) . Eurographics '94 . Consultado el 3 de enero de 2016 .
2. Moreton, Henry P. (1992). "Optimización funcional para el diseño de superficies justas" (PDF) . Gráficos por computadora . Consultado el 4 de enero de 2016 .
3. Eck, Matthias (1996). "Reconstrucción automática de superficies B-splines de tipo topológico arbitrario" (PDF) . Actas de SIGGRAPH 96, Actas de gráficos por ordenador, serie de conferencias anuales . Consultado el 3 de enero de 2016 .
4. Halstead, Mark (1993). "Interpolación eficiente y justa utilizando superficies Catmull-Clark" (PDF) . Actas de la 20.ª conferencia anual sobre gráficos por ordenador y técnicas interactivas . Consultado el 4 de enero de 2016 .
5. Kreyszig, Erwin (1991). Geometría diferencial . Mineola, Nueva York: Dover. pp. 131. ISBN. 0-486-66721-9.
6. Hjelle, Oyvind (2005). "Aproximación de mínimos cuadrados multinivel de datos dispersos sobre triangulaciones binarias" (PDF) . Computación y visualización en la ciencia . Consultado el 14 de enero de 2016 .